Cours et exercices corrigés de L2 : Déterminants, formes multilinéaires alternées et comatrice

1. Formes multilinéaires alternées et définition du déterminant

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base.

• Une forme $n$-linéaire $\varphi$ est alternée si $\varphi(x_1, \dots, x_n) = 0$ dès que deux des $x_i$ sont égaux. Elle est alors antisymétrique (échanger deux vecteurs change le signe) et s'annule sur toute famille liée.
• Théorème : les formes $n$-linéaires alternées sur $E$ forment une droite vectorielle ; il en existe une unique, notée $\det_\mathcal{B}$, telle que $\det_\mathcal{B}(e_1, \dots, e_n) = 1$. Toute forme $n$-linéaire alternée vérifie $\varphi = \varphi(e_1, \dots, e_n)\, \det_\mathcal{B}$.
• Formule de Leibniz : pour $A = (a_{ij})$, $\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n a_{\sigma(j), j}$, où $\varepsilon$ est la signature.
• Pour $u \in \mathcal{L}(E)$, $\det(u) = \det(\text{Mat}_\mathcal{B}(u))$ ne dépend pas de la base $\mathcal{B}$.

2. Démonstration : multiplicativité du déterminant

Théorème. Pour $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$.
Démonstration.
1. Fixons $A$ et définissons, pour des colonnes $X_1, \dots, X_n \in \mathbb{K}^n$, $\varphi(X_1, \dots, X_n) = \det(A X_1, \dots, A X_n)$.
2. $\varphi$ est $n$-linéaire (car $X \mapsto AX$ est linéaire et $\det$ est $n$-linéaire) et alternée (si $X_i = X_j$, alors $A X_i = A X_j$ et le déterminant est nul).
3. Par le théorème précédent, $\varphi = \varphi(E_1, \dots, E_n) \det$, où $(E_j)$ est la base canonique. Or $A E_j$ est la $j$-ième colonne de $A$, donc $\varphi(E_1, \dots, E_n) = \det(A)$.
4. La $j$-ième colonne de $AB$ est $A B_j$, où $B_j$ est la $j$-ième colonne de $B$. Donc $\det(AB) = \varphi(B_1, \dots, B_n) = \det(A)\det(B)$.
Conséquences. Si $A$ est inversible, $\det(A)\det(A^{-1}) = \det(I_n) = 1$, donc $\det(A) \neq 0$ et $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ ; si $A$ n'est pas inversible, ses colonnes sont liées et $\det(A) = 0$. Deux matrices semblables ont le même déterminant.

3. Propriétés et opérations élémentaires

• $\det({}^t A) = \det(A)$ : tout ce qui est vrai pour les colonnes l'est pour les lignes.
• $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$.
• Opérations élémentaires : échanger deux colonnes (ou lignes) change le signe ; multiplier une colonne par $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$ ; ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres ne change pas le déterminant.
• Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.
• Matrice triangulaire par blocs : $\det\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} = \det(A)\det(C)$ pour $A, C$ carrées.
• Une famille de $n$ vecteurs de $E$ est une base si et seulement si son déterminant dans une base $\mathcal{B}$ est non nul.

4. Développement selon une ligne ou une colonne, comatrice

Notons $\Delta_{ij}$ le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$ (mineur), et $C_{ij} = (-1)^{i+j} \Delta_{ij}$ le cofacteur.

• Développement selon la colonne $j$ : $\det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} C_{ij}$ ; selon la ligne $i$ : $\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}$.
• Comatrice : $\text{Com}(A) = (C_{ij})_{i,j}$.
• Formule de la comatrice : $A\, {}^t\text{Com}(A) = {}^t\text{Com}(A)\, A = \det(A)\, I_n$. Si $\det(A) \neq 0$ : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\, {}^t\text{Com}(A)$.
• Démonstration de ${}^t\text{Com}(A)\,A = \det(A) I_n$ : le coefficient $(i, j)$ du produit est $\sum_{k=1}^n C_{ki}\, a_{kj}$. C'est le développement selon la colonne $i$ du déterminant de la matrice $A'$ obtenue en remplaçant la colonne $i$ de $A$ par sa colonne $j$ (les cofacteurs de la colonne $i$ ne dépendent pas de cette colonne). Si $i = j$, $A' = A$ et on obtient $\det(A)$ ; si $i \neq j$, $A'$ a deux colonnes égales et le résultat est $0$. L'autre égalité se prouve de même avec les lignes.

5. Formules de Cramer

Soit $A \in GL_n(\mathbb{K})$ et $B \in \mathbb{K}^n$. L'unique solution de $AX = B$ est donnée par
$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \qquad 1 \le i \le n,$$
où $A_i$ est obtenue en remplaçant la $i$-ième colonne de $A$ par $B$.

• Démonstration : si $C_1, \dots, C_n$ sont les colonnes de $A$, alors $B = \sum_j x_j C_j$. Par linéarité par rapport à la colonne $i$, $\det(A_i) = \sum_j x_j \det(C_1, \dots, C_j, \dots, C_n)$ ($C_j$ en position $i$) ; tous les termes $j \neq i$ ont deux colonnes égales, il reste $x_i \det(A)$.
• Ces formules ont surtout un intérêt théorique (les solutions dépendent continûment, voire rationnellement, des coefficients) ; pour le calcul, on préfère le pivot de Gauss.

6. Déterminant de Vandermonde

Pour $x_1, \dots, x_n \in \mathbb{K}$ :
$$V(x_1, \dots, x_n) = \det\left(x_i^{\,j-1}\right)_{1 \le i, j \le n} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).$$

• Il est non nul si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts.
• Idée de preuve : $P(X) = V(x_1, \dots, x_{n-1}, X)$ est un polynôme de degré au plus $n - 1$, qui s'annule en $x_1, \dots, x_{n-1}$ et dont le coefficient de $X^{n-1}$ est $V(x_1, \dots, x_{n-1})$ ; on conclut par récurrence.
• Application : existence et unicité du polynôme d'interpolation de Lagrange de degré au plus $n - 1$ passant par $n$ points d'abscisses distinctes.