Cours et exercices corrigés de L2 : Réduction des endomorphismes I : Valeurs propres et Diagonalisation

1. Éléments propres d'un endomorphisme

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) et $u \in \mathcal{L}(E)$.

• Valeur propre : $\lambda \in \mathbb{K}$ est valeur propre de $u$ s'il existe $x \neq 0_E$ tel que $u(x) = \lambda x$, c'est-à-dire si $\text{Ker}(u - \lambda\,\text{Id}_E) \neq \{0_E\}$.
• Vecteur propre : tout vecteur non nul $x$ vérifiant $u(x) = \lambda x$.
• Sous-espace propre : $E_\lambda(u) = \text{Ker}(u - \lambda\,\text{Id}_E)$. Il est stable par $u$, et plus généralement par tout endomorphisme qui commute avec $u$.
• Spectre : $\text{Sp}(u)$ est l'ensemble des valeurs propres de $u$.
• En dimension finie : $\lambda \in \text{Sp}(u) \iff u - \lambda\,\text{Id}_E$ non injectif $\iff$ non bijectif $\iff \det(u - \lambda\,\text{Id}_E) = 0$. En particulier $0 \in \text{Sp}(u) \iff u$ n'est pas inversible.
• Exemples : sur $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, la dérivation $D$ admet tout réel $\lambda$ comme valeur propre ($x \mapsto e^{\lambda x}$ est vecteur propre). La rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ de $\mathbb{R}^2$ n'a aucune valeur propre réelle.

2. Polynôme caractéristique et multiplicités

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, on pose $\chi_A(X) = \det(X I_n - A)$ (convention adoptée dans tout le chapitre).

• $\chi_A$ est unitaire de degré $n$ : $\chi_A(X) = X^n - \text{tr}(A) X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det(A)$.
• Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, ce qui permet de définir $\chi_u$ pour $u \in \mathcal{L}(E)$.
• $\lambda \in \text{Sp}(A) \iff \chi_A(\lambda) = 0$. Le spectre d'une matrice triangulaire est l'ensemble de ses coefficients diagonaux.
• Multiplicité algébrique $m_\lambda$ : multiplicité de $\lambda$ comme racine de $\chi_A$. Multiplicité géométrique : $d_\lambda = \dim E_\lambda = n - \text{rg}(A - \lambda I_n)$.
• Inégalité : pour toute valeur propre, $1 \le d_\lambda \le m_\lambda$. En effet, en complétant une base de $E_\lambda$ en une base de $E$, la matrice de $u$ s'écrit $\begin{pmatrix} \lambda I_{d} & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$ avec $d = d_\lambda$, donc $\chi_u = (X - \lambda)^{d} \chi_C$.
• Si $\chi_A$ est scindé, $\text{tr}(A)$ est la somme et $\det(A)$ le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité.

3. Démonstration : des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont libres

Théorème. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ des valeurs propres deux à deux distinctes de $u$ et, pour chaque $i$, $x_i$ un vecteur propre associé à $\lambda_i$. Alors la famille $(x_1, \dots, x_p)$ est libre.
Démonstration (récurrence sur $p$).
1. Pour $p = 1$ : $x_1 \neq 0_E$, donc $(x_1)$ est libre.
2. Supposons le résultat vrai au rang $p - 1$ et soient $a_1, \dots, a_p \in \mathbb{K}$ tels que $\sum_{i=1}^{p} a_i x_i = 0_E$ (relation (1)).
3. En appliquant $u$ : $\sum_{i=1}^{p} a_i \lambda_i x_i = 0_E$ (relation (2)).
4. La combinaison (2) $- \lambda_p \times$ (1) élimine $x_p$ : $\sum_{i=1}^{p-1} a_i (\lambda_i - \lambda_p) x_i = 0_E$.
5. Par hypothèse de récurrence, $a_i(\lambda_i - \lambda_p) = 0$ pour $i \le p - 1$ ; comme $\lambda_i \neq \lambda_p$, on obtient $a_i = 0$.
6. La relation (1) devient $a_p x_p = 0_E$ avec $x_p \neq 0_E$, donc $a_p = 0$. La famille est libre.
Corollaire. Les sous-espaces propres sont en somme directe : si $y_1 + \dots + y_p = 0_E$ avec $y_i \in E_{\lambda_i}$, les $y_i$ non nuls formeraient une famille liée de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes ; donc tous les $y_i$ sont nuls. En dimension $n$, un endomorphisme a au plus $n$ valeurs propres.

4. Critères de diagonalisabilité

$u \in \mathcal{L}(E)$, avec $\dim E = n$, est diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est diagonale. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. $u$ est diagonalisable ;
2. $E$ admet une base formée de vecteurs propres de $u$ ;
3. $E = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(u)} E_\lambda(u)$ ;
4. $\sum_{\lambda \in \text{Sp}(u)} \dim E_\lambda(u) = n$ ;
5. $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et $d_\lambda = m_\lambda$ pour toute valeur propre $\lambda$.

• Justification de 4 $\iff$ 5 : $\sum d_\lambda \le \sum m_\lambda \le \deg \chi_u = n$, la seconde inégalité étant une égalité si et seulement si $\chi_u$ est scindé ; il y a égalité globale si et seulement si les deux inégalités sont des égalités.
• Condition suffisante : si $\chi_u$ est scindé à racines simples ($n$ valeurs propres distinctes), $u$ est diagonalisable. Elle n'est pas nécessaire : $I_n$ est diagonale avec une seule valeur propre.

5. Puissances de matrices et suites récurrentes

Si $A = P D P^{-1}$ avec $D = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$, la $j$-ième colonne de $P$ étant un vecteur propre associé à $\lambda_j$ :

• pour tout $k \in \mathbb{N}$ (et tout $k \in \mathbb{Z}$ si $A$ est inversible), $A^k = P D^k P^{-1}$ avec $D^k = \text{diag}(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)$ ;
• la suite vectorielle définie par $X_{k+1} = A X_k$ vérifie $X_k = A^k X_0 = P D^k P^{-1} X_0$ ; en posant $Y_k = P^{-1} X_k$, le système se découple : $Y_{k+1} = D Y_k$.
• Plus généralement, pour tout polynôme $Q$, $Q(A) = P\,\text{diag}(Q(\lambda_1), \dots, Q(\lambda_n))\,P^{-1}$.

6. Exemples et contre-exemples de référence

• $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ : $\chi_N = X^2$, $\text{Sp}(N) = \{0\}$, $d_0 = 1 < 2 = m_0$ : non diagonalisable. Plus généralement, une matrice nilpotente non nulle n'est jamais diagonalisable (elle serait semblable à la matrice nulle).
• $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $\chi_R = X^2 + 1$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$, donc $R$ n'est pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ; elle l'est dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$, de valeurs propres $i$ et $-i$.
• Un projecteur $p$ ($p \circ p = p$) vérifie $\text{Sp}(p) \subset \{0, 1\}$ et $E = \text{Ker}\,p \oplus \text{Im}\,p$ avec $\text{Im}\,p = \text{Ker}(p - \text{Id})$ : il est diagonalisable.