Équations différentielles linéaires en L2 : cours et exercices

Objectifs du chapitre

Résoudre les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 et d'ordre 2 à coefficients constants, avec second membre.
Énoncer le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire et démontrer la structure de l'espace des solutions (dimension, wronskien).
Résoudre les systèmes différentiels linéaires $X' = AX$ à coefficients constants via l'exponentielle de matrice.
Appliquer la méthode de variation des constantes pour déterminer une solution particulière.

Le cours

1. Équations linéaires scalaires d'ordre 1

Soient $a, b$ continues sur un intervalle $I$ et l'équation $(E) : y' + a(t) y = b(t)$ . Notons $A$ une primitive de $a$ sur $I$ .

Équation homogène : $y' + a y = 0 \iff (y e^{A})' = 0 \iff y = C e^{-A(t)}$ , $C \in \mathbb{K}$ (on dérive $y e^{A}$ , ce qui est licite sur l'intervalle $I$ ).
Structure : les solutions de $(E)$ sont $y = y_p + C e^{-A}$ , où $y_p$ est une solution particulière : c'est une droite affine.
Variation de la constante : on cherche $y_p = C(t) e^{-A(t)}$ ; on obtient $C'(t) = b(t) e^{A(t)}$ .
Pour tout $(t_0, y_0) \in I \times \mathbb{K}$ , il existe une unique solution sur $I$ telle que $y(t_0) = y_0$ .

2. Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Soit $I$ un intervalle, $A : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $B : I \to \mathbb{K}^n$ continues.

Théorème (admis) : pour tout $(t_0, X_0) \in I \times \mathbb{K}^n$ , le problème $X' = A(t) X + B(t)$ , $X(t_0) = X_0$ admet une unique solution définie sur tout $I$ .
Équation scalaire d'ordre $n$ : $y^{(n)} + a_{n-1}(t) y^{(n-1)} + \dots + a_0(t) y = b(t)$ avec des $a_k, b$ continues se ramène à un système en posant $X = {}^t(y, y', \dots, y^{(n-1)})$ ; le problème de Cauchy y fixe $y(t_0), \dots, y^{(n-1)}(t_0)$ .
L'équation doit être résolue (coefficient de $y^{(n)}$ égal à 1, ou ne s'annulant pas sur $I$ ) : c'est cette forme qui permet d'appliquer le théorème.

3. Démonstration : structure des solutions et wronskien

Théorème. L'ensemble $\mathcal{S}_H$ des solutions sur $I$ de $X' = A(t) X$ est un espace vectoriel de dimension $n$ ; plus précisément, pour tout $t_0 \in I$ , l'application $\Phi : \mathcal{S}_H \to \mathbb{K}^n$ , $X \mapsto X(t_0)$ , est un isomorphisme.
Démonstration.
1. $\mathcal{S}_H$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^1(I, \mathbb{K}^n)$ : la fonction nulle est solution et l'équation est linéaire.
2. $\Phi$ est linéaire (évaluation en $t_0$ ).
3. Surjectivité : pour tout $X_0 \in \mathbb{K}^n$ , Cauchy-Lipschitz fournit une solution telle que $X(t_0) = X_0$ .
4. Injectivité : si $X(t_0) = 0$ , alors $X$ et la fonction nulle résolvent le même problème de Cauchy ; par unicité, $X = 0$ .
5. Donc $\dim \mathcal{S}_H = n$ . Les solutions de l'équation complète forment l'espace affine $X_p + \mathcal{S}_H$ .
Wronskien. Pour des solutions $X_1, \dots, X_n$ de l'équation homogène, on pose $W(t) = \det(X_1(t), \dots, X_n(t))$ . Alors ou bien $W$ ne s'annule jamais, ou bien $W$ est identiquement nul, et $(X_1, \dots, X_n)$ est une base de $\mathcal{S}_H$ si et seulement si $W(t_0) \neq 0$ pour un $t_0$ .
Preuve : si $W(t_0) = 0$ , il existe $(c_i) \neq 0$ tel que $\sum c_i X_i(t_0) = 0$ ; la solution $Y = \sum c_i X_i$ est nulle en $t_0$ , donc partout (point 4), et $W(t) = 0$ pour tout $t$ . Réciproquement, si $W(t_0) \neq 0$ , $(X_i(t_0))$ est une base de $\mathbb{K}^n$ ; comme $\Phi$ est un isomorphisme, $(X_1, \dots, X_n)$ est une base de $\mathcal{S}_H$ .
Pour $y'' + a(t) y' + b(t) y = 0$ : $W = y_1 y_2' - y_1' y_2$ vérifie $W' = -a(t) W$ .

4. Équations d'ordre 2 à coefficients constants

Pour $a y'' + b y' + c y = 0$ avec $a, b, c$ réels, $a \neq 0$ , d'équation caractéristique $a r^2 + b r + c = 0$ et de discriminant $\Delta$ , les solutions réelles sont :
1. $\Delta > 0$ , racines réelles $r_1 \neq r_2$ : $y = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$ ;
2. $\Delta = 0$ , racine double $r_0$ : $y = (C_1 + C_2 t) e^{r_0 t}$ ;
3. $\Delta < 0$ , racines $\alpha \pm i\beta$ : $y = e^{\alpha t}\left(C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)\right)$ .

Second membre $P(t) e^{mt}$ ( $P$ polynôme, $m \in \mathbb{C}$ ) : il existe une solution particulière $Q(t) e^{mt}$ avec $\deg Q = \deg P + \mu$ , où $\mu \in \{0, 1, 2\}$ est la multiplicité de $m$ comme racine de l'équation caractéristique.
Pour un second membre $\cos(\omega t)$ , on résout avec $e^{i\omega t}$ et on prend la partie réelle.

5. Systèmes à coefficients constants et exponentielle de matrice

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $e^A = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!}$ (série absolument convergente pour toute norme d'algèbre).
$t \mapsto e^{tA}$ est dérivable, $\frac{d}{dt} e^{tA} = A e^{tA} = e^{tA} A$ , et $e^{(s+t)A} = e^{sA} e^{tA}$ ; en particulier $e^{tA}$ est inversible d'inverse $e^{-tA}$ .
Solution : l'unique solution de $X' = AX$ , $X(0) = X_0$ est $X(t) = e^{tA} X_0$ .
Si $A = P D P^{-1}$ avec $D = \text{diag}(\lambda_i)$ : $e^{tA} = P\, \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, \dots, e^{\lambda_n t})\, P^{-1}$ ; les solutions sont les $\sum C_i e^{\lambda_i t} V_i$ , où $V_i$ est la $i$ -ième colonne de $P$ .
Si $AB = BA$ , alors $e^{A + B} = e^A e^B$ ; et $\det(e^A) = e^{\text{tr} A}$ .

6. Variation des constantes à l'ordre 2

Soit $y'' + a(t) y' + b(t) y = f(t)$ ( $a, b, f$ continues sur $I$ ) et $(y_1, y_2)$ une base des solutions homogènes, de wronskien $W$ ne s'annulant pas.

On cherche $y = c_1(t) y_1 + c_2(t) y_2$ en imposant

$\begin{cases} c_1' y_1 + c_2' y_2 = 0 \\ c_1' y_1' + c_2' y_2' = f \end{cases}$

Ce système de Cramer (déterminant $W(t) \neq 0$ ) donne $c_1' = -\frac{f y_2}{W}$ et $c_2' = \frac{f y_1}{W}$ , puis $c_1, c_2$ par primitivation.
C'est la traduction, pour l'équation scalaire, de la recherche de $X = e^{tA} C(t)$ dans le cas des systèmes : $C'(t) = e^{-tA} B(t)$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Résoudre un système différentiel 2x2 par diagonalisation

Exemple

Résoudre $X' = AX$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ et $X(0) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Valeurs propres : $\chi_A(X) = (X - 1)^2 - 4 = (X - 3)(X + 1)$ , donc $\lambda_1 = 3$ et $\lambda_2 = -1$ .
Vecteurs propres : $(A - 3I_2)V = 0 \iff y = 2x$ , $V_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ ; $(A + I_2)V = 0 \iff y = -2x$ , $V_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ .
Solution générale : $X(t) = C_1 e^{3t} V_1 + C_2 e^{-t} V_2$ .
Condition initiale : $C_1 + C_2 = 2$ et $2C_1 - 2C_2 = 0$ , donc $C_1 = C_2 = 1$ : $X(t) = \begin{pmatrix} e^{3t} + e^{-t} \\ 2e^{3t} - 2e^{-t} \end{pmatrix}$ . Contrôle : $x' = 3e^{3t} - e^{-t} = x + y$ .

Méthode : Second membre exponentiel en cas de résonance

Exemple

Résoudre $y'' - 3y' + 2y = e^{t}$ avec $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$ .

Homogène : $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ , d'où $y_H = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t}$ .
Forme de la solution particulière : $m = 1$ est racine simple, donc on cherche $y_p = a t e^{t}$ . On a $y_p' = a(1 + t)e^t$ et $y_p'' = a(2 + t)e^t$ .
Identification : $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = a e^t\left[(2 + t) - 3(1 + t) + 2t\right] = -a e^t$ , donc $a = -1$ .
Conditions initiales : $y = C_1 e^t + C_2 e^{2t} - t e^t$ ; $y(0) = C_1 + C_2 = 0$ et $y'(0) = C_1 + 2C_2 - 1 = 0$ , d'où $C_2 = 1$ , $C_1 = -1$ .
Conclusion : $y(t) = e^{2t} - e^{t} - t e^{t}$ .

Pièges fréquents

$e^{A + B} = e^A e^B$ n'est garanti que si $AB = BA$ ; c'est faux par exemple pour $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Cauchy-Lipschitz s'applique à l'équation résolue : pour $t y' - y = 0$ sur $\mathbb{R}$ , les solutions sont les $y = Ct$ ; le problème $y(0) = 1$ n'a aucune solution et le problème $y(0) = 0$ en a une infinité.
En cas de résonance, oublier le facteur $t$ (ou $t^2$ pour une racine double) conduit à une identification impossible : chercher $a e^t$ pour $y'' - 3y' + 2y = e^t$ donne $0 = e^t$ .
Les solutions de l'équation avec second membre ne forment pas un espace vectoriel mais un espace affine : la somme de deux solutions n'est pas une solution.
Dans la variation des constantes à l'ordre 2, la condition $c_1' y_1 + c_2' y_2 = 0$ est un choix qui rend le système de Cramer ; l'oublier conduit à une équation du second ordre en $c_1, c_2$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la dimension de l'espace des solutions de

X' = A(t) X

sur

I

, avec

A

continue à valeurs dans

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

?

$n$ : l'évaluation $X \mapsto X(t_0)$ est un isomorphisme sur $\mathbb{K}^n$ (existence et unicité de Cauchy-Lipschitz).

Que peut-on dire du wronskien de

n

solutions d'un système linéaire homogène ?

Il est soit identiquement nul, soit jamais nul ; les solutions forment une base si et seulement s'il est non nul en un point.

Quelle est la solution de

X' = AX

,

X(0) = X_0

(

A

constante) ?

$X(t) = e^{tA} X_0$ .

Quelle forme de solution particulière chercher pour

ay'' + by' + cy = P(t)e^{mt}

?

$Q(t)e^{mt}$ avec $\deg Q = \deg P + \mu$ , où $\mu$ est la multiplicité de $m$ comme racine de $ar^2 + br + c$ .

Résoudre

y' + a(t)y = 0

sur un intervalle.

$y = C e^{-A(t)}$ , où $A$ est une primitive de $a$ .

Quelle équation différentielle vérifie le wronskien de

y'' + a(t)y' + b(t)y = 0

?

$W' = -a(t) W$ , donc $W(t) = W(t_0) \exp\left(-\int_{t_0}^t a\right)$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Équation caractéristique du second ordre

Palier 1 · découverte

Quelle est la forme générale des solutions réelles de $y'' - 5y' + 6y = 0$ ?

$y(x) = A e^{2x} + B e^{3x}$
$y(x) = (A + Bx)e^{2x}$
$y(x) = A \cos(2x) + B \sin(3x)$
$y(x) = A e^{-2x} + B e^{-3x}$

Un indice

L'équation caractéristique est $r^2 - 5r + 6 = 0$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $y(x) = A e^{2x} + B e^{3x}$

L'équation caractéristique $r^2 - 5r + 6 = 0$ a pour racines distinctes $r_1 = 2$ et $r_2 = 3$ . Les solutions réelles sont $y(x) = A e^{2x} + B e^{3x}$ avec $A, B \in \mathbb{R}$ .

Exercice 2 Variation de la constante pour EDO d'ordre 1

Palier 2 · application

Quelle est la solution générale de $y' - 2y = 4$ sur $\mathbb{R}$ ?

$y(x) = C e^{2x} - 2$
$y(x) = C e^{2x} + 2$
$y(x) = C e^{-2x} - 2$
$y(x) = 2x + C$

Un indice

La solution homogène est $y_h(x) = C e^{2x}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $y(x) = C e^{2x} - 2$

Solution homogène : $y_h(x) = C e^{2x}$ . Solution particulière constante : $y_p(x) = -2$ car $0 - 2(-2) = 4$ . Solution générale : $y(x) = C e^{2x} - 2$ .

Exercice 3 Oscillateur harmonique libre

Palier 3 · approfondissement

Quelle est l'unique solution du problème de Cauchy $y'' + 4y = 0$ avec $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$ ?

$y(x) = \cos(2x) + \sin(2x)$
$y(x) = \cos(4x) + 2\sin(4x)$
$y(x) = e^{2x} + e^{-2x}$
$y(x) = \cos(2x) + 2\sin(2x)$

Un indice

$y(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x)$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $y(x) = \cos(2x) + \sin(2x)$

L'équation caractéristique $r^2 + 4 = 0$ donne $r = \pm 2i$ . La solution est $y(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x)$ . $y(0)=1 \implies A=1$ . $y'(x) = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x) \implies y'(0) = 2B = 2 \implies B=1$ . D'où $y(x) = \cos(2x) + \sin(2x)$ .

Exercice 4 Système différentiel linéaire et exponentielle de matrice

Palier 4 · défi

Pour le système $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} X$ , que vaut la matrice de transition $\exp(tA)$ ?

$\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{pmatrix}$

Un indice

Remarque que $A^2 = -I_2$ . $A$ joue le rôle de $i$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$

Comme $A^2 = -I_2$ , on a $\exp(tA) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k A^k}{k!} = \cos(t) I_2 + \sin(t) A = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$ .