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Licence 2 · Calcul Intégral · L2-09

Cours et exercices corrigés de L2 : Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Intégrales impropres sur [a, +∞[ ou ]a, b], convergence absolue, critères de comparaison pour fonctions positives, intégrales de Riemann de référence ∫ 1/t^α dt, intégrales de Bertrand, intégration par parties généralisée.

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Objectifs du chapitre

Le cours

1. Définition de la convergence

Soit f:[a;b[→Kf : [a ; b[ \to \mathbb{K} continue par morceaux, avec b∈R∪{+∞}b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}.

  • ∫abf\int_a^b f converge si lim⁡X→b−∫aXf(t) dt\lim_{X \to b^-} \int_a^X f(t)\, dt existe et est finie ; on note alors ∫abf\int_a^b f cette limite.
  • Sur ]a;b[]a ; b[, impropre aux deux bornes : on choisit c∈]a;b[c \in ]a ; b[ ; ∫abf\int_a^b f converge si et seulement si ∫acf\int_a^c f et ∫cbf\int_c^b f convergent toutes les deux (le résultat ne dépend pas de cc).
  • Faux problème : si bb est fini et ff admet une limite finie en b−b^-, l'intégrale converge (prolongement par continuité). Exemple : ∫01sin⁡tt dt\int_0^1 \frac{\sin t}{t}\, dt.
  • Linéarité, relation de Chasles et positivité s'étendent aux intégrales convergentes.

2. Intégrales de référence

  • Riemann en +∞+\infty : ∫1+∞dttα\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si α>1\alpha > 1 (et vaut alors 1α−1\frac{1}{\alpha - 1}).
  • Riemann en 00 : ∫01dttα\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si α<1\alpha < 1 (et vaut alors 11−α\frac{1}{1 - \alpha}).
  • Exponentielle : ∫0+∞e−at dt\int_0^{+\infty} e^{-at}\, dt converge si et seulement si a>0a > 0, et vaut 1a\frac{1}{a}.
  • Logarithme : ∫01ln⁡t dt=−1\int_0^1 \ln t\, dt = -1 (converge).
  • Bertrand : ∫e+∞dttα(ln⁡t)β\int_e^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha (\ln t)^\beta} converge si et seulement si α>1\alpha > 1, ou α=1\alpha = 1 et β>1\beta > 1. Par exemple, ∫eXdttln⁡t=ln⁡(ln⁡X)→+∞\int_e^X \frac{dt}{t \ln t} = \ln(\ln X) \to +\infty.

3. Démonstration : intégrales de Riemann

Théorème. ∫1+∞t−α dt\int_1^{+\infty} t^{-\alpha}\, dt converge   ⟺  α>1\iff \alpha > 1 ; ∫01t−α dt\int_0^1 t^{-\alpha}\, dt converge   ⟺  α<1\iff \alpha < 1.
Démonstration.
1. En +∞+\infty, α≠1\alpha \neq 1 : pour X>1X > 1, ∫1Xt−α dt=X1−α−11−α\int_1^X t^{-\alpha}\, dt = \frac{X^{1 - \alpha} - 1}{1 - \alpha}. Si α>1\alpha > 1, X1−α→0X^{1-\alpha} \to 0 et l'intégrale tend vers 1α−1\frac{1}{\alpha - 1} ; si α<1\alpha < 1, X1−α→+∞X^{1 - \alpha} \to +\infty : divergence.
2. En +∞+\infty, α=1\alpha = 1 : ∫1Xdtt=ln⁡X→+∞\int_1^X \frac{dt}{t} = \ln X \to +\infty : divergence.
3. En 00, α≠1\alpha \neq 1 : pour ε∈]0;1[\varepsilon \in ]0 ; 1[, ∫ε1t−α dt=1−ε1−α1−α\int_\varepsilon^1 t^{-\alpha}\, dt = \frac{1 - \varepsilon^{1 - \alpha}}{1 - \alpha}. Si α<1\alpha < 1, ε1−α→0\varepsilon^{1 - \alpha} \to 0 et la limite vaut 11−α\frac{1}{1 - \alpha} ; si α>1\alpha > 1, ε1−α→+∞\varepsilon^{1 - \alpha} \to +\infty : divergence.
4. En 00, α=1\alpha = 1 : ∫ε1dtt=−ln⁡ε→+∞\int_\varepsilon^1 \frac{dt}{t} = -\ln \varepsilon \to +\infty : divergence.
En particulier, ∫0+∞dttα\int_0^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} diverge pour tout α\alpha.

4. Comparaison pour les fonctions positives

Soient f,gf, g continues par morceaux et positives sur [a;b[[a ; b[.

  • Lemme : X↦∫aXfX \mapsto \int_a^X f est croissante, donc ∫abf\int_a^b f converge si et seulement si cette fonction est majorée (théorème de la limite monotone).
  • Majoration : si 0≤f≤g0 \le f \le g au voisinage de bb, la convergence de ∫abg\int_a^b g entraîne celle de ∫abf\int_a^b f (et la divergence de ∫f\int f celle de ∫g\int g). Preuve : sur [c;b[[c ; b[, ∫cXf≤∫cXg≤∫cbg\int_c^X f \le \int_c^X g \le \int_c^b g, puis on applique le lemme.
  • Domination : si f=O(g)f = O(g) en bb et ∫abg\int_a^b g converge, alors ∫abf\int_a^b f converge.
  • Équivalence : si f∼gf \sim g en bb, les intégrales sont de même nature, car 12g≤f≤2g\frac{1}{2} g \le f \le 2g au voisinage de bb.
  • Usage : en +∞+\infty, montrer t2f(t)→0t^2 f(t) \to 0 donne f=o(1t2)f = o\left(\frac{1}{t^2}\right), d'où la convergence ; par exemple pour ∫0+∞tne−t dt\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\, dt.

5. Convergence absolue

  • ∫abf\int_a^b f est absolument convergente si ∫ab∣f∣\int_a^b |f| converge.
  • Théorème : une intégrale absolument convergente est convergente, et ∣∫abf∣≤∫ab∣f∣\left|\int_a^b f\right| \le \int_a^b |f|.
  • Démonstration (cas réel) : f+=max⁡(f,0)f^+ = \max(f, 0) et f−=max⁡(−f,0)f^- = \max(-f, 0) vérifient 0≤f±≤∣f∣0 \le f^\pm \le |f|, donc ∫f+\int f^+ et ∫f−\int f^- convergent par comparaison, et f=f+−f−f = f^+ - f^-. Cas complexe : on applique ce résultat aux parties réelle et imaginaire, majorées par ∣f∣|f|.
  • Pour une fonction de signe quelconque, on étudie donc d'abord ∣f∣|f| par comparaison.

6. Semi-convergence : l'exemple de sin⁡tt\frac{\sin t}{t}

Une intégrale semi-convergente converge sans converger absolument.

  • Convergence : sur [1;X][1 ; X], une intégration par parties donne ∫1Xsin⁡tt dt=[−cos⁡tt]1X−∫1Xcos⁡tt2 dt\int_1^X \frac{\sin t}{t}\, dt = \left[-\frac{\cos t}{t}\right]_1^X - \int_1^X \frac{\cos t}{t^2}\, dt. Le crochet a une limite finie et ∣cos⁡tt2∣≤1t2\left|\frac{\cos t}{t^2}\right| \le \frac{1}{t^2} : l'intégrale ∫1+∞sin⁡tt dt\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt converge. En 00, le problème est faux (limite 11).
  • Non-convergence absolue : ∣sin⁡t∣≥sin⁡2t=1−cos⁡(2t)2|\sin t| \ge \sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2}. Or ∫1+∞cos⁡(2t)2t dt\int_1^{+\infty} \frac{\cos(2t)}{2t}\, dt converge (même intégration par parties) et ∫1+∞dt2t\int_1^{+\infty} \frac{dt}{2t} diverge ; donc ∫1+∞∣sin⁡t∣t dt\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\, dt diverge.
  • On peut montrer que ∫0+∞sin⁡tt dt=π2\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt = \frac{\pi}{2}.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Établir la convergence par équivalents

Exemple

Étudier la convergence de I=∫0+∞dxx2+xI = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + \sqrt{x}}.

  1. Deux bornes impropres : la fonction est continue et positive sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[ ; on coupe en 11.

  2. En 00 : 1x2+x∼1x1/2\frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \sim \frac{1}{x^{1/2}}, et ∫01dxx1/2\int_0^1 \frac{dx}{x^{1/2}} converge (Riemann, 12<1\frac{1}{2} < 1).

  3. En +∞+\infty : 1x2+x∼1x2\frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \sim \frac{1}{x^2}, et ∫1+∞dxx2\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2} converge (Riemann, 2>12 > 1).

  4. Conclusion : par comparaison de fonctions positives, les deux morceaux convergent, donc II converge.

Méthode : Calculer une intégrale impropre par parties

Exemple

Calculer ∫0+∞t2e−t dt\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t}\, dt.

  1. Convergence : t2⋅t2e−t→0t^2 \cdot t^2 e^{-t} \to 0 en +∞+\infty, donc t2e−t=o(1t2)t^2 e^{-t} = o\left(\frac{1}{t^2}\right) et l'intégrale converge.

  2. Intégration par parties sur [0;X][0 ; X] : ∫0Xt2e−t dt=[−t2e−t]0X+2∫0Xte−t dt\int_0^X t^2 e^{-t}\, dt = \left[-t^2 e^{-t}\right]_0^X + 2\int_0^X t e^{-t}\, dt.

  3. Deuxième intégration par parties : ∫0Xte−t dt=[−te−t]0X+∫0Xe−t dt=−Xe−X+1−e−X→1\int_0^X t e^{-t}\, dt = \left[-t e^{-t}\right]_0^X + \int_0^X e^{-t}\, dt = -X e^{-X} + 1 - e^{-X} \to 1.

  4. Passage à la limite : X2e−X→0X^2 e^{-X} \to 0, donc ∫0+∞t2e−t dt=2×1=2\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t}\, dt = 2 \times 1 = 2 (c'est Γ(3)=2!\Gamma(3) = 2!).

Pièges fréquents

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

À quelle condition ∫1+∞dttα\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} converge-t-elle ? Et ∫01dttα\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} ?

La première si et seulement si α>1\alpha > 1, la seconde si et seulement si α<1\alpha < 1.

Pourquoi une fonction positive a-t-elle une intégrale convergente dès que ses intégrales partielles sont majorées ?

Car X↦∫aXfX \mapsto \int_a^X f est croissante : elle admet une limite finie si et seulement si elle est majorée.

Une intégrale absolument convergente est-elle convergente ?

Oui, et ∣∫f∣≤∫∣f∣\left|\int f\right| \le \int |f| ; on l'établit avec f=f+−f−f = f^+ - f^- et 0≤f±≤∣f∣0 \le f^\pm \le |f|.

Donner un exemple d'intégrale semi-convergente.

∫1+∞sin⁡tt dt\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt : elle converge (intégration par parties) mais ∫1+∞∣sin⁡t∣t dt\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\, dt diverge.

Comment montrer rapidement la convergence de ∫0+∞tne−t dt\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\, dt ?

t2⋅tne−t→0t^2 \cdot t^n e^{-t} \to 0, donc tne−t=o(1/t2)t^n e^{-t} = o(1/t^2) en +∞+\infty ; on conclut par comparaison à Riemann.

Quand ∫e+∞dttα(ln⁡t)β\int_e^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha(\ln t)^\beta} converge-t-elle ?

Si et seulement si α>1\alpha > 1, ou α=1\alpha = 1 et β>1\beta > 1.

Exercices corrigés

Exercice 1 Critère de convergence des intégrales de Riemann en +l'infini

Palier 1 · découverte

Pour quelle condition sur le paramètre réel α\alpha l'intégrale impropre ∫1+∞dttα\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} converge-t-elle ?

  1. α>1\alpha > 1
  2. α≥1\alpha \ge 1
  3. α<1\alpha < 1
  4. α>0\alpha > 0
Un indice

Calculer la primitive pour α≠1\alpha \ne 1 : [t1−α1−α]1X[\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}]_1^X.

Voir la correction

Bonne réponse : A. α>1\alpha > 1

Pour α≠1\alpha \ne 1, ∫1Xt−αdt=X1−α−11−α\int_1^X t^{-\alpha} dt = \frac{X^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}. Cette quantité admet une limite finie quand X→+∞X \to +\infty si et seulement si 1−α<0  ⟺  α>11 - \alpha < 0 \iff \alpha > 1. Pour α=1\alpha = 1, l'intégrale vaut ln⁡(X)→+∞\ln(X) \to +\infty (divergence).

Exercice 2 Convergence par équivalence au voisinage de +l'infini

Palier 2 · application

Quelle est la nature de l'intégrale impropre I=∫1+∞1t3+2t+5 dtI = \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{t^3 + 2t + 5}} \, dt ?

  1. Elle converge car l'intégrande est équivalent à 1t3/2\frac{1}{t^{3/2}} avec 32>1\frac{3}{2} > 1
  2. Elle diverge car l'intégrande est équivalent à 1t3\frac{1}{t^3}
  3. Elle diverge car t3→+∞\sqrt{t^3} \to +\infty
  4. Elle est semi-convergente mais pas absolument convergente
Un indice

En +∞+\infty, t3+2t+5∼t3=t3/2\sqrt{t^3 + 2t + 5} \sim \sqrt{t^3} = t^{3/2}.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Elle converge car l'intégrande est équivalent à 1t3/2\frac{1}{t^{3/2}} avec 32>1\frac{3}{2} > 1

La fonction t↦1t3+2t+5t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t^3 + 2t + 5}} est continue et strictement positive sur [1,+∞[[1, +\infty[. Au voisinage de +∞+\infty, 1t3+2t+5∼1t3/2\frac{1}{\sqrt{t^3 + 2t + 5}} \sim \frac{1}{t^{3/2}}. Comme l'intégrale de Riemann de référence ∫1+∞dtt3/2\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^{3/2}} converge (alpha=3/2>1\\alpha = 3/2 > 1), l'intégrale II converge.

Exercice 3 Intégrales de Bertrand

Palier 3 · approfondissement

À quelle condition sur le couple (α,β)∈R2(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 l'intégrale de Bertrand ∫2+∞dttα(ln⁡t)β\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha (\ln t)^\beta} converge-t-elle ?

  1. α>1\alpha > 1, ou (α=1\alpha = 1 et β>1\beta > 1)
  2. α>1\alpha > 1 et β>1\beta > 1
  3. α+β>1\alpha + \beta > 1
  4. α≥1\alpha \ge 1 pour tout β\beta
Un indice

Si α>1\alpha > 1, la puissance tαt^\alpha suffit à faire converger l'intégrale.

Voir la correction

Bonne réponse : A. α>1\alpha > 1, ou (α=1\alpha = 1 et β>1\beta > 1)

Pour α>1\alpha > 1, tα(ln⁡t)βt^\alpha (\ln t)^\beta croît plus vite que tα+12t^{\frac{\alpha + 1}{2}} donc l'intégrale converge pour tout β\beta. Pour α=1\alpha = 1, par le changement de variable u=ln⁡tu = \ln t, ∫2Xdtt(ln⁡t)β=∫ln⁡2ln⁡Xduuβ\int_2^X \frac{dt}{t(\ln t)^\beta} = \int_{\ln 2}^{\ln X} \frac{du}{u^\beta} converge ssi β>1\beta > 1.

Exercice 4 Intégrale semi-convergente de Dirichlet

Palier 4 · défi

Que peut-on affirmer au sujet de l'intégrale impropre ∫0+∞sin⁡tt dt\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt ?

  1. Elle est semi-convergente (convergente mais non absolument convergente)
  2. Elle est absolument convergente
  3. Elle diverge grossièrement vers +∞+\infty
  4. Elle n'est pas prolongeable par continuité en 00
Un indice

En 0, lim⁡t→0sin⁡tt=1\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1, pas de problème d'intégrabilité en 0.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Elle est semi-convergente (convergente mais non absolument convergente)

En 00, la fonction se prolonge par continuité par 11. En +∞+\infty, une intégration par parties montre que ∫1Xsin⁡ttdt=−cos⁡XX+cos⁡(1)−∫1Xcos⁡tt2dt\int_1^X \frac{\sin t}{t} dt = -\frac{\cos X}{X} + \cos(1) - \int_1^X \frac{\cos t}{t^2} dt, qui converge car ∣cos⁡t∣t2≤1t2\frac{|\cos t|}{t^2} \le \frac{1}{t^2} intégrable. Cependant, ∫0+∞∣sin⁡t∣tdt=+∞\int_0^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t} dt = +\infty, l'intégrale est donc semi-convergente.