Cours et exercices corrigés de L2 : Intégrales dépendant d'un paramètre et convergence dominée

1. Théorème de convergence dominée

Soit $I$ un intervalle et $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$. On suppose :
1. $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux ;
2. domination : il existe $\varphi : I \to \mathbb{R}_+$ continue par morceaux et intégrable sur $I$ telle que $|f_n(t)| \le \varphi(t)$ pour tous $n$ et $t \in I$.
Alors $f$ est intégrable sur $I$ et $\int_I f_n \to \int_I f$. (Théorème admis en L2 ; il relève de la théorie de l'intégrale de Lebesgue.)

• Exemple : $\int_0^n \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n dt \to \int_0^{+\infty} e^{-t}\, dt = 1$ (méthode 2).

2. Démonstration : continuité sous le signe intégrale

Théorème. Soit $A \subset \mathbb{R}$, $I$ un intervalle et $f : A \times I \to \mathbb{K}$ telle que :
1. pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
2. pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est continue sur $A$ ;
3. il existe $\varphi$ continue par morceaux, intégrable sur $I$ et indépendante de $x$, telle que $|f(x, t)| \le \varphi(t)$ pour tous $(x, t) \in A \times I$.
Alors $F(x) = \int_I f(x, t)\, dt$ est définie et continue sur $A$.
Démonstration.
1. Pour tout $x$, $|f(x, \cdot)| \le \varphi$ intégrable : $F(x)$ est bien définie (comparaison).
2. Soit $x_0 \in A$ et $(x_n)$ une suite de $A$ tendant vers $x_0$. Posons $g_n(t) = f(x_n, t)$.
3. Par l'hypothèse 2, $g_n(t) \to f(x_0, t)$ pour tout $t \in I$ ; la limite est continue par morceaux par l'hypothèse 1, ainsi que chaque $g_n$.
4. Par l'hypothèse 3, $|g_n(t)| \le \varphi(t)$ avec $\varphi$ intégrable, indépendante de $n$.
5. Le théorème de convergence dominée donne $F(x_n) = \int_I g_n \to \int_I f(x_0, t)\, dt = F(x_0)$.
6. Ceci valant pour toute suite $x_n \to x_0$, $F$ est continue en $x_0$ (caractérisation séquentielle de la continuité).
Variante locale : si $A$ est un intervalle, il suffit d'une domination sur tout segment $[a ; b] \subset A$ (avec une $\varphi_{[a ; b]}$ pouvant dépendre du segment), la continuité étant une propriété locale.

3. Dérivation sous le signe intégrale

Soit $J$ un intervalle et $f : J \times I \to \mathbb{K}$ telle que :
1. pour tout $x \in J$, $t \mapsto f(x, t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$ ;
2. $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe sur $J \times I$, est continue par rapport à $x$, et continue par morceaux par rapport à $t$ ;
3. domination de la dérivée : $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\right| \le \psi(t)$ pour tous $(x, t)$, avec $\psi$ intégrable sur $I$ et indépendante de $x$ (ou une telle domination sur tout segment de $J$).
Alors $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$ et $F'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\, dt$ (formule de Leibniz).

• Idée : on applique la convergence dominée aux taux d'accroissement $\frac{f(x_n, t) - f(x, t)}{x_n - x}$, dominés par $\psi(t)$ grâce à l'inégalité des accroissements finis ; la continuité de $F'$ découle du théorème du point 2.
• Par récurrence, on obtient la classe $\mathcal{C}^k$ en dominant les dérivées partielles successives.

4. Cas d'un segment

Si $I = [c ; d]$ est un segment et $f$ est continue sur $J \times [c ; d]$ :

• $F(x) = \int_c^d f(x, t)\, dt$ est continue sur $J$ : sur tout $[a ; b] \subset J$, $|f| \le M$ sur le compact $[a ; b] \times [c ; d]$, et la constante $M$ est intégrable sur le segment $[c ; d]$.
• Si de plus $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe et est continue sur $J \times [c ; d]$, alors $F$ est $\mathcal{C}^1$ et $F'(x) = \int_c^d \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\, dt$.
• Ces deux énoncés servent notamment à démontrer le théorème de Fubini sur un rectangle.

5. La fonction Gamma d'Euler

$\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt$.

• Domaine : en $0$, $t^{x-1} e^{-t} \sim t^{x-1}$, intégrable si et seulement si $1 - x < 1$, soit $x > 0$ ; en $+\infty$, $t^{x-1}e^{-t} = o\left(\frac{1}{t^2}\right)$. Donc $\Gamma$ est définie exactement sur $]0 ; +\infty[$.
• Relation fonctionnelle : une intégration par parties sur $[\varepsilon ; X]$ donne $\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)$ ; avec $\Gamma(1) = 1$, on obtient $\Gamma(n + 1) = n!$.
• Régularité : $\Gamma$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0 ; +\infty[$, avec $\Gamma^{(k)}(x) = \int_0^{+\infty} (\ln t)^k t^{x-1} e^{-t}\, dt$. La domination est locale : pour $x \in [a ; b] \subset ]0 ; +\infty[$, $|(\ln t)^k t^{x-1} e^{-t}| \le |\ln t|^k (t^{a-1} + t^{b-1}) e^{-t}$, intégrable sur $]0 ; +\infty[$.
• Valeur remarquable : $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\, dt = 2\int_0^{+\infty} e^{-u^2}\, du = \sqrt{\pi}$ (changement de variable $t = u^2$ et intégrale de Gauss).

6. Intégration terme à terme d'une série de fonctions

• Théorème (admis) : si les $f_n$ sont continues par morceaux et intégrables sur $I$, si $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ vers une fonction continue par morceaux et si $\sum_n \int_I |f_n| < +\infty$, alors $\int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n$.
• Exemple : pour $t > 0$, $\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{n=1}^{+\infty} t e^{-nt}$, et $\int_0^{+\infty} t e^{-nt}\, dt = \frac{1}{n^2}$, terme d'une série convergente. Donc $\int_0^{+\infty} \frac{t}{e^t - 1}\, dt = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.