Cours et exercices corrigés de L3 : Séries entières, rayon de convergence et fonctions analytiques

1. Lemme d'Abel et rayon de convergence

• Série entière : série de fonctions $\sum_{n \ge 0} a_n z^n$ avec $(a_n) \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ et $z \in \mathbb{C}$.
• Lemme d'Abel : s'il existe $z_0 \neq 0$ tel que $(a_n z_0^n)$ soit bornée, alors pour tout $r \in [0 ; |z_0|[$, la série $\sum a_n z^n$ converge normalement sur le disque fermé $\bar{D}(0, r)$ ; en particulier elle converge absolument pour $|z| < |z_0|$.
• Rayon de convergence :

$$R = \sup \{ r \ge 0 \mid (a_n r^n) \text{ est bornée} \} \in [0 ; +\infty]$$
1. Pour $|z| < R$ : convergence absolue ; convergence normale sur tout disque fermé $\bar{D}(0, r)$, $r < R$.
2. Pour $|z| > R$ : $(a_n z^n)$ n'est pas bornée, donc la série diverge grossièrement.
3. Pour $|z| = R$ : tout peut arriver.

• Le disque ouvert $D(0, R)$ est le disque ouvert de convergence.

2. Démonstration du lemme d'Abel et des propriétés du rayon

Lemme d'Abel. Supposons $|a_n z_0^n| \le M$ pour tout $n$, avec $z_0 \neq 0$, et soit $0 \le r < |z_0|$.

Démonstration.
1. Pour $|z| \le r$ : $|a_n z^n| = |a_n z_0^n| \left|\frac{z}{z_0}\right|^n \le M \left(\frac{r}{|z_0|}\right)^n$.
2. Le majorant $M q^n$, avec $q = \frac{r}{|z_0|} \in [0 ; 1[$, est indépendant de $z$ et terme général d'une série géométrique convergente.
3. Donc $\sup_{|z| \le r} |a_n z^n| \le M q^n$ : la série converge normalement sur $\bar{D}(0, r)$. $\square$

Propriétés du rayon.
1. L'ensemble $\mathcal{E} = \{r \ge 0 \mid (a_n r^n) \text{ bornée}\}$ est un intervalle contenant $0$ : si $r \in \mathcal{E}$ et $0 \le r' \le r$, $|a_n| r'^n \le |a_n| r^n$, donc $r' \in \mathcal{E}$.
2. Si $|z| < R$ : par définition de la borne supérieure, il existe $r \in \mathcal{E}$ avec $|z| < r$ ; le lemme d'Abel appliqué à $z_0 = r$ donne la convergence absolue en $z$ (et normale sur $\bar{D}(0, \rho)$ pour tout $\rho < R$, en choisissant $\rho < r < R$).
3. Si $|z| > R$ : $|z| \notin \mathcal{E}$, donc $(a_n z^n)$ n'est pas bornée, ne tend pas vers $0$, et la série diverge grossièrement. $\square$

3. Calcul du rayon de convergence

• Comparaison : si $|a_n| \le |b_n|$ à partir d'un certain rang, alors $R_a \ge R_b$. Si $a_n = O(b_n)$, $R_a \ge R_b$ ; si $a_n \sim b_n$, $R_a = R_b$.
• Règle de d'Alembert : si $a_n \neq 0$ à partir d'un certain rang et $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \ell \in [0 ; +\infty]$, alors $R = \frac{1}{\ell}$ (conventions $\frac{1}{0} = +\infty$, $\frac{1}{+\infty} = 0$).
• Formule de Hadamard : $\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$ (toujours valable, mêmes conventions).
• Invariances : $\sum a_n z^n$, $\sum n a_n z^{n-1}$ (série dérivée), $\sum \frac{a_n}{n+1} z^{n+1}$ (primitive) et $\sum P(n) a_n z^n$ ($P$ polynôme non nul) ont le même rayon.
• Opérations : $R(\sum (a_n + b_n) z^n) \ge \min(R_a, R_b)$, avec égalité si $R_a \neq R_b$ ; le produit de Cauchy a un rayon $\ge \min(R_a, R_b)$.
• Exemples : $\sum \frac{z^n}{n!}$ : $R = +\infty$ ; $\sum n! z^n$ : $R = 0$ ; $\sum z^n$, $\sum \frac{z^n}{n}$, $\sum \frac{z^n}{n^2}$ : $R = 1$.

4. Régularité de la somme et développements usuels

Soit $f(z) = \sum a_n z^n$ de rayon $R > 0$.

• Continuité : $f$ est continue sur $D(0, R)$ (convergence normale sur tout disque fermé de rayon $< R$).
• Variable réelle : $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-R ; R[$, se dérive terme à terme (même rayon), et $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ : les coefficients sont déterminés par la somme (unicité du développement). On peut aussi intégrer terme à terme sur $[0 ; x] \subset ]-R ; R[$.
• Variable complexe : $f$ est holomorphe sur $D(0, R)$, de dérivée $\sum n a_n z^{n-1}$.
• Développements usuels (en variable réelle) :

1. $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$, $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$, $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ($R = +\infty$) ;
2. $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$, $\ln(1 + x) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$, $\arctan x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ ($R = 1$) ;
3. $(1 + x)^\alpha = \sum \binom{\alpha}{n} x^n$ ($R = 1$ si $\alpha \notin \mathbb{N}$).

• Attention : une fonction $\mathcal{C}^\infty$ n'est pas toujours développable en série entière : $x \mapsto e^{-1/x^2}$ (prolongée par $0$) a toutes ses dérivées nulles en $0$.

5. Comportement au bord : théorème radial d'Abel

• Sur le cercle $|z| = R$ : tous les comportements sont possibles : $\sum z^n$ diverge en tout point du cercle unité, $\sum \frac{z^n}{n^2}$ converge (normalement) sur tout le disque fermé, $\sum \frac{z^n}{n}$ diverge en $z = 1$ et converge en $z = -1$.
• Théorème de la limite radiale d'Abel : soit $\sum a_n x^n$ une série entière de rayon $R \in ]0 ; +\infty[$. Si $\sum a_n R^n$ converge, alors $x \mapsto \sum a_n x^n$ est définie et continue sur $[0 ; R]$, et

$$\lim_{x \to R^-} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n R^n$$

• Idée de preuve (cas $R = 1$) : transformation d'Abel ; en notant $\rho_n = \sum_{k > n} a_k$, on a pour $x \in [0 ; 1[$ : $\sum a_n - \sum a_n x^n = \sum (1 - x^n) a_n$, que l'on réécrit à l'aide des restes $\rho_n$, petits pour $n$ grand.