Cours et exercices corrigés de L3 : Suites et séries de fonctions : Convergences simple, uniforme et normale

1. Convergence simple et uniforme des suites de fonctions

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions d'un ensemble $A$ dans $\mathbb{K}$ (ou dans un espace normé).

• Convergence simple vers $f$ : $\forall x \in A, \; f_n(x) \to f(x)$.
• Convergence uniforme vers $f$ : $\|f_n - f\|_{\infty, A} = \sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| \to 0$. L'entier $N$ du « $\forall \varepsilon, \exists N$ » ne dépend plus de $x$.
• Uniforme $\implies$ simple ; la limite uniforme est nécessairement la limite simple.
• Critère de Cauchy uniforme : $(f_n)$ converge uniformément sur $A$ si et seulement si $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall p, q \ge N, \; \|f_p - f_q\|_\infty \le \varepsilon$ (complétude de l'espace des fonctions bornées).
• Pour nier la convergence uniforme : exhiber $x_n \in A$ tels que $|f_n(x_n) - f(x_n)|$ ne tende pas vers $0$.

2. Démonstration : continuité de la limite uniforme

Théorème. Soit $A$ une partie d'un espace métrique, $(f_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $\mathbb{K}$ convergeant uniformément sur $A$ vers $f$. Si chaque $f_n$ est continue en $a \in A$, alors $f$ est continue en $a$. En particulier une limite uniforme de fonctions continues est continue.

Démonstration.
1. Soit $\varepsilon > 0$. Par convergence uniforme, il existe $N$ tel que $\|f_N - f\|_{\infty, A} < \frac{\varepsilon}{3}$.
2. $f_N$ étant continue en $a$, il existe $\eta > 0$ tel que $x \in A$, $d(x, a) < \eta \implies |f_N(x) - f_N(a)| < \frac{\varepsilon}{3}$.
3. Pour $x \in A$ avec $d(x, a) < \eta$ :
$$|f(x) - f(a)| \le |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(a)| + |f_N(a) - f(a)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$
4. Donc $f$ est continue en $a$. $\square$

Remarques.

• Le premier et le troisième termes sont contrôlés grâce à l'uniformité : le même $N$ convient en $x$ et en $a$. Avec une simple convergence, l'argument échoue.
• La continuité étant locale, il suffit d'avoir la convergence uniforme au voisinage de chaque point, par exemple sur tout segment d'un intervalle $I$.

3. Séries de fonctions : convergence uniforme et normale

Soit $\sum u_n$ une série de fonctions sur $A$, de sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$.

• Convergence uniforme : $(S_n)$ converge uniformément, c'est-à-dire que le reste $R_n = \sum_{k > n} u_k$ vérifie $\|R_n\|_{\infty} \to 0$.
• Convergence normale : $\sum \|u_n\|_{\infty, A} < +\infty$. En pratique, on cherche $\alpha_n$ indépendant de $x$ avec $|u_n(x)| \le \alpha_n$ et $\sum \alpha_n$ convergente.
• Hiérarchie : normale $\implies$ uniforme $\implies$ simple, et normale $\implies$ absolue en tout point.
• Critère des séries alternées : si pour tout $x$, $u_n(x) = (-1)^n a_n(x)$ avec $(a_n(x))$ décroissante de limite nulle, alors $|R_n(x)| \le a_{n+1}(x)$. Si de plus $\sup_x a_{n+1}(x) \to 0$, la convergence est uniforme.
• Exemple : $\sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n}{n + x}$ converge uniformément sur $[0 ; +\infty[$ ($|R_n(x)| \le \frac{1}{n+1}$), mais pas normalement ($\|u_n\|_\infty = \frac{1}{n}$).

4. Double limite, intégration et dérivation terme à terme

• Continuité : si les $u_n$ sont continues sur $I$ et si $\sum u_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$, la somme est continue sur $I$.
• Double limite : soit $a$ adhérent à $A$ (éventuellement $a = \pm\infty$). Si $\sum u_n$ converge uniformément sur $A$ et si $u_n(x) \to \ell_n$ quand $x \to a$ pour tout $n$, alors $\sum \ell_n$ converge et

$$\lim_{x \to a} \sum_{n=0}^\infty u_n(x) = \sum_{n=0}^\infty \ell_n$$

• Intégration sur un segment : si les $u_n$ sont continues sur $[a ; b]$ et $\sum u_n$ converge uniformément sur $[a ; b]$, alors $\int_a^b \sum u_n = \sum \int_a^b u_n$.
• Dérivation : soit $I$ un intervalle. Si (1) chaque $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$, (2) $\sum u_n(x_0)$ converge pour un $x_0 \in I$, (3) $\sum u_n'$ converge uniformément sur tout segment de $I$, alors $\sum u_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$, sa somme $S$ est $\mathcal{C}^1$ et $S' = \sum u_n'$.
• Sur un intervalle non borné, l'intégration terme à terme relève plutôt de la convergence dominée ou de la convergence monotone (cours de mesure).

5. Théorème de Dini et approximation de Weierstrass

• Théorème de Dini : soit $K$ un compact et $(f_n)$ une suite de fonctions continues $K \to \mathbb{R}$ convergeant simplement vers une fonction continue $f$. Si pour tout $x$, la suite $(f_n(x))$ est monotone (de même sens pour tous les $x$), alors la convergence est uniforme sur $K$.
• Théorème d'approximation de Weierstrass : toute fonction continue $f : [a ; b] \to \mathbb{K}$ est limite uniforme sur $[a ; b]$ d'une suite de fonctions polynomiales. Autrement dit, les polynômes sont denses dans $(\mathcal{C}([a ; b]), \|\cdot\|_\infty)$.
• Une preuve constructive utilise les polynômes de Bernstein sur $[0 ; 1]$ : $B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}$, qui convergent uniformément vers $f$ (continuité uniforme de $f$ et inégalité de Bienaymé-Tchebychev).
• Application : si $f$ est continue sur $[0 ; 1]$ et $\int_0^1 f(t) t^n \, dt = 0$ pour tout $n$, alors $f = 0$ (approcher $f$ par des polynômes $P_k$ : $\int f^2 = \lim \int f P_k = 0$).