Cours et exercices corrigés de PASS / L.AS : Tests statistiques : principe, risques et tests usuels

1. Démarche d'un test

1. Poser $H_0$ (absence de différence ou d'effet) et $H_1$ (alternative, bilatérale « $\neq$ » ou unilatérale « $>$ », « $<$ »).
2. Fixer le risque $\alpha$ avant l'analyse (souvent $5\,\%$).
3. Calculer la statistique de test sous $H_0$.
4. Comparer à la valeur seuil (ou comparer $p$ à $\alpha$) : rejeter $H_0$ ou ne pas la rejeter.
On ne « démontre » jamais $H_0$ : on ne la rejette pas faute de preuve suffisante.

2. Risques et puissance

• Risque de première espèce $\alpha = P(\text{rejeter } H_0 \mid H_0 \text{ vraie})$ : conclure à tort à une différence.
• Risque de deuxième espèce $\beta = P(\text{ne pas rejeter } H_0 \mid H_1 \text{ vraie})$ : passer à côté d'une vraie différence.
• Puissance $= 1 - \beta$ : probabilité de mettre en évidence une différence qui existe. Elle augmente avec $n$, avec l'ampleur de la différence et avec $\alpha$ ; elle diminue quand la variabilité augmente.

Le degré de signification $p$ est la probabilité, si $H_0$ est vraie, d'observer un écart au moins aussi grand que celui observé.

3. Comparaison d'une moyenne ou d'une proportion à une référence

Moyenne (grand échantillon) : $$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}.$$ Petit échantillon d'une loi normale : même formule, comparée à la loi de Student à $n - 1$ degrés de liberté. Données appariées : on travaille sur les différences.
Proportion : $$Z = \dfrac{f - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}}$$ (on utilise $p_0$, la valeur sous $H_0$).
En bilatéral au risque $5\,\%$ : rejet si $|Z| > 1{,}96$ ; en unilatéral : rejet si $Z > 1{,}645$ (dans le sens prévu).

4. Test du khi-deux

Pour comparer des effectifs observés $O$ à des effectifs théoriques $E$ (calculés sous $H_0$) : $$\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}.$$

• Indépendance (tableau $l \times c$) : $E = \dfrac{\text{total ligne} \times \text{total colonne}}{\text{total}}$, $(l - 1)(c - 1)$ degrés de liberté.
• Ajustement à une distribution théorique à $k$ classes : $k - 1$ degrés de liberté.

Condition : tous les effectifs théoriques $\geq 5$. Seuil à $5\,\%$ pour $1$ degré de liberté : $3{,}84$.

5. Aux partiels : pièges fréquents

• « $p = 0{,}03$ » ne veut pas dire « $H_0$ a $3\,\%$ de chances d'être vraie ».
• Un résultat non significatif ne prouve pas l'absence d'effet : la puissance était peut-être insuffisante.
• Significatif ne veut pas dire cliniquement important : avec un très grand $n$, une différence minime devient significative.
• Choisir le sens d'un test unilatéral après avoir vu les données est une faute de méthode.