Cours et exercices corrigés de PASS / L.AS : Échantillonnage et intervalles de confiance

1. Moyenne d'échantillon et théorème central limite

Pour un échantillon de $n$ observations indépendantes de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$, la moyenne $\bar{X}$ vérifie $$E(\bar{X}) = \mu, \qquad \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$
Théorème central limite : pour $n$ grand (en pratique $n \geq 30$), $\bar{X}$ suit approximativement $\mathcal{N}\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$, quelle que soit la loi des observations.

2. Erreur standard

L'erreur standard (ou écart type de la moyenne) mesure la précision de l'estimation :

• d'une moyenne : $ES = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ ;
• d'une proportion observée $f$ : $ES = \sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}$.

L'écart type $s$ décrit la dispersion des individus ; l'erreur standard décrit la dispersion des moyennes d'échantillons. Elle diminue comme $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

3. Intervalles de confiance

Moyenne, grand échantillon : $$IC_{95\,\%} = \left[\bar{x} - 1{,}96\dfrac{s}{\sqrt{n}} ; \bar{x} + 1{,}96\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right].$$
Petit échantillon issu d'une loi normale : remplacer $1{,}96$ par le quantile $t_{n-1}$ de la loi de Student à $n - 1$ degrés de liberté.
Proportion : $\left[f - 1{,}96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}} ; f + 1{,}96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]$, valable si $nf \geq 5$ et $n(1 - f) \geq 5$.
À $99\,\%$, on utilise $2{,}58$ : l'intervalle est plus large.

4. Interprétation et nombre de sujets nécessaire

Un $IC$ à $95\,\%$ est obtenu par une méthode qui, sur un grand nombre d'échantillons, fournit un intervalle contenant la vraie valeur dans $95\,\%$ des cas. La vraie valeur est fixe ; c'est l'intervalle qui est aléatoire.
Pour une demi-largeur $d$ fixée : $$n \geq \left(\dfrac{1{,}96\,\sigma}{d}\right)^2 \ \text{(moyenne)}, \qquad n \geq \dfrac{1{,}96^2 f(1 - f)}{d^2} \ \text{(proportion)},$$ en arrondissant à l'entier supérieur. Diviser la largeur par $2$ demande $4$ fois plus de sujets.

5. Aux partiels : pièges fréquents

• Utiliser l'écart type au lieu de l'erreur standard dans un $IC$ de moyenne (intervalle beaucoup trop large).
• Dire « la vraie moyenne a $95\,\%$ de chances d'être dans $[a ; b]$ » : la formulation attendue porte sur la méthode.
• Croire qu'un $IC$ à $95\,\%$ contient $95\,\%$ des individus : c'est le rôle de l'intervalle de référence (PA-05).
• Arrondir un nombre de sujets à l'entier inférieur.