Cours et exercices corrigés de prépa santé : Proportionnalité, concentrations, dilutions et posologies

1. Proportionnalité et produit en croix

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'une s'obtient en multipliant l'autre par un même nombre (le coefficient de proportionnalité). Le produit en croix permet de calculer une quatrième proportionnelle :
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc.$$
Exemple : si 5 mL de sirop contiennent 120 mg, alors 2 mL en contiennent $\dfrac{2 \times 120}{5} = 48$ mg.

2. Concentration massique

$$C_m = \frac{m}{V}$$
où $m$ est la masse de soluté et $V$ le volume de solution. Unités usuelles : g/L, mg/mL (1 mg/mL = 1 g/L), mg/L.
On en déduit $m = C_m \times V$ et $V = \dfrac{m}{C_m}$.

3. Dilution

Lors d'une dilution, la masse de soluté se conserve : $C_1 V_1 = C_2 V_2$ (solution mère : $C_1$, $V_1$ prélevé ; solution fille : $C_2$, $V_2$ total).
Le facteur de dilution est $F = \dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{V_2}{V_1}$. Des dilutions successives de facteurs $F_1$ et $F_2$ donnent un facteur global $F_1 \times F_2$.

4. Posologie et débit

Une posologie en mg/kg se multiplie par la masse du patient : 15 mg/kg pour 20 kg donne 300 mg.
Le débit d'une perfusion est le volume perfusé par unité de temps : $D = \dfrac{V}{t}$ (en mL/h ou en mL/min). Avec un perfuseur où 1 mL correspond à 20 gouttes, un débit en mL/min se multiplie par 20 pour obtenir des gouttes/min.
Pour une seringue électrique, on divise la dose horaire prescrite par la concentration : 4 mg/h avec 2 mg/mL donne 2 mL/h.

5. Aux épreuves : pièges fréquents

• Inverser la relation de dilution et écrire $V_1 = \dfrac{C_1 V_2}{C_2}$.
• Confondre le volume d'eau ajouté et le volume final : ajouter 100 mL d'eau à 50 mL donne 150 mL, pas 100 mL.
• Mélanger mL et L, ou heures et minutes, dans un même calcul de débit.
• Arrondir trop tôt une valeur intermédiaire (débit en gouttes/min, par exemple).