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Prépa santé · Calculs et dosages · PS-01

Cours et exercices corrigés de prépa santé : Puissances de 10, notation scientifique et unités

Puissances de 10, notation scientifique, préfixes du système international (du nano au méga), conversions de masses, de volumes et de débits, ordres de grandeur en biologie.

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Objectifs du chapitre

Le cours

1. Règles de calcul sur les puissances de 10

Pour tous entiers relatifs mm et nn :
10m×10n=10m+n10m10n=10m−n(10m)n=10mn10−n=110n10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n} \qquad \frac{10^{m}}{10^{n}} = 10^{m-n} \qquad (10^{m})^{n} = 10^{mn} \qquad 10^{-n} = \frac{1}{10^{n}}
Exemple : 104×10−710−2=104−7+2=10−1\dfrac{10^{4} \times 10^{-7}}{10^{-2}} = 10^{4 - 7 + 2} = 10^{-1}.

2. Notation scientifique

Tout nombre décimal non nul s'écrit de façon unique a×10na \times 10^{n} avec 1≤∣a∣<101 \leq |a| < 10 et nn entier relatif.
Exemples : 0,000 36=3,6×10−40{,}000\,36 = 3{,}6 \times 10^{-4} ; 5 200 000=5,2×1065\,200\,000 = 5{,}2 \times 10^{6}.
Pour multiplier deux nombres en notation scientifique, on multiplie les mantisses entre elles et les puissances de 10 entre elles, puis on réajuste : (4×103)×(5×10−6)=20×10−3=2×10−2(4 \times 10^{3}) \times (5 \times 10^{-6}) = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2}.

3. Préfixes et conversions

méga (M) =106= 10^{6} ; kilo (k) =103= 10^{3} ; déci (d) =10−1= 10^{-1} ; centi (c) =10−2= 10^{-2} ; milli (m) =10−3= 10^{-3} ; micro (µ) =10−6= 10^{-6} ; nano (n) =10−9= 10^{-9}.
Équivalences de volume : 1 L = 1 dm³ ; 1 mL = 1 cm³ ; 1 m³ = 1 000 L ; 1 µL = 1 mm³.
Pour une unité composée (g/L, mL/h…), on convertit séparément le numérateur et le dénominateur : 1 g/L = 1 000 mg / 10 dL = 100 mg/dL.

4. Ordres de grandeur en biologie

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche. Quelques repères : une cellule humaine mesure environ 10 µm, une bactérie quelques µm, un virus environ 100 nm ; un adulte a environ 5 L de sang et environ 5×1065 \times 10^{6} globules rouges par mm³.
Un calcul d'ordre de grandeur permet de repérer une erreur de conversion d'un facteur 1 000.

5. Aux épreuves : pièges fréquents

  • Additionner les exposants lors d'une addition : 103+10210^{3} + 10^{2} n'est pas 10510^{5} (il vaut 1 1001\,100).
  • Oublier de réajuster la mantisse : 25×10−425 \times 10^{-4} n'est pas une notation scientifique ; on écrit 2,5×10−32{,}5 \times 10^{-3}.
  • Convertir des volumes avec un facteur 10 au lieu de 1 000 : 1 m³ = 1 000 dm³.
  • Ne convertir que le numérateur d'une unité composée (mg/mL en g/L, par exemple).

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Convertir une unité composée

Exemple

Convertir une glycémie de 0,95 g/L en mg/dL.

  1. Étape 1 (Numérateur) : 0,95 g = 950 mg.

  2. Étape 2 (Dénominateur) : 1 L = 10 dL.

  3. Étape 3 (Conclure) : 95010=95\dfrac{950}{10} = 95, donc 0,95 g/L = 95 mg/dL.

Méthode : Calculer avec la notation scientifique

Exemple

Calculer (6×105)×(4×10−8)3×10−4\dfrac{(6 \times 10^{5}) \times (4 \times 10^{-8})}{3 \times 10^{-4}}.

  1. Étape 1 (Mantisses) : 6×43=8\dfrac{6 \times 4}{3} = 8.

  2. Étape 2 (Puissances) : 105−8−(−4)=10110^{5 - 8 - (-4)} = 10^{1}.

  3. Étape 3 (Conclure) : le résultat est 8×101=808 \times 10^{1} = 80 ; si la mantisse sort de [1;10[[1 ; 10[, on la réajuste.

Pièges fréquents

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Que vaut le préfixe micro (µ) ?

10−610^{-6}.

Notation scientifique de 0,004 20{,}004\,2 ?

4,2×10−34{,}2 \times 10^{-3}.

Combien de litres dans 1 m³ ?

1 000 L.

Convertir 1 g/L en mg/dL.

100 mg/dL.

Exercices corrigés

Exercice 1 Produit de puissances de 10

Palier 1 · découverte

On a 103×10−5=10n10^{3} \times 10^{-5} = 10^{n}. Quelle est la valeur de l'entier nn ?

Un indice

Lors d'un produit de puissances de 10 de même base, ajoutez les exposants.

Voir la correction

Réponse attendue : -2

103×10−5=103+(−5)=10−210^{3} \times 10^{-5} = 10^{3 + (-5)} = 10^{-2}, donc n=−2n = -2.

Exercice 2 Glycémie en mg/dL

Palier 2 · application

Une glycémie à jeun est mesurée à 1,1 g/L. Exprimez-la en mg/dL (nombre seul).

Un indice

Convertissez séparément la masse (g en mg) et le volume (L en dL).

Voir la correction

Réponse attendue : 110

1,1 g = 1 100 mg et 1 L = 10 dL.
Donc 1,1 g/L =1 10010= \dfrac{1\,100}{10} mg/dL == 110 mg/dL.

Exercice 3 Nombre de globules rouges

Palier 3 · approfondissement

Un adulte possède environ 5 L de sang, contenant environ 5×1065 \times 10^{6} globules rouges par mm³.
Le nombre total de globules rouges s'écrit a×1013a \times 10^{13}. Donnez aa (nombre décimal).

Un indice

Exprimez d'abord les 5 L de sang en mm³ (1 L = 1 dm³).

Voir la correction

Réponse attendue : 2.5

5 L = 5 dm³ = 5×1065 \times 10^{6} mm³.
Nombre de globules rouges : 5×106×5×106=25×1012=2,5×10135 \times 10^{6} \times 5 \times 10^{6} = 25 \times 10^{12} = 2{,}5 \times 10^{13}.
Donc a=2,5a = 2{,}5.

Exercice 4 Débit cardiaque sur une journée

Palier 4 · défi

À chaque battement, le cœur éjecte 70 mL de sang ; il bat 70 fois par minute.
Quel volume de sang est éjecté en une journée, en m³ ? Donnez le résultat arrondi au dixième.

Un indice

Calculez d'abord le volume éjecté par minute, puis le nombre de minutes dans une journée.

Voir la correction

Réponse attendue : 7.1

Par minute : 70×70=4 90070 \times 70 = 4\,900 mL.
En une journée : 24×60=1 44024 \times 60 = 1\,440 min, donc 4 900×1 440=7 056 0004\,900 \times 1\,440 = 7\,056\,000 mL =7 056= 7\,056 L =7,056= 7{,}056 m³.
Arrondi au dixième : 7,1 m³.