Prépa santé · Calculs et dosages · PS-03

Cours et exercices corrigés de prépa santé : Pourcentages, évolutions et indices

Proportion et pourcentage d'un pourcentage, taux d'évolution et coefficient multiplicateur, évolutions successives et réciproques, taux moyen, indices.

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Objectifs du chapitre

Calculer une proportion et un pourcentage de pourcentage.
Passer d'un taux d'évolution au coefficient multiplicateur, et inversement.
Composer des évolutions successives et calculer une évolution réciproque.
Calculer un taux d'évolution moyen et exploiter des indices.

Le cours

1. Proportions

La proportion d'une sous-population A dans une population E est $p = \dfrac{n_A}{n_E}$ .
Si A représente une proportion $p$ de E et B une proportion $p'$ de A, alors B représente une proportion $p \times p'$ de E.
Exemple : 40 % des patients sont des femmes et 15 % d'entre elles sont diabétiques : $0{,}4 \times 0{,}15 = 0{,}06$ , soit 6 % des patients.

2. Taux d'évolution et coefficient multiplicateur

Quand une grandeur passe de $V_0$ à $V_1$ , le taux d'évolution est $t = \dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$ et le coefficient multiplicateur est $CM = \dfrac{V_1}{V_0} = 1 + t$ .
Une hausse de 20 % correspond à $CM = 1{,}2$ ; une baisse de 35 % à $CM = 0{,}65$ .

3. Évolutions successives et réciproques

Des évolutions successives se multiplient : $CM = CM_1 \times CM_2 \times \dots$ . Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % donne $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$ , soit une baisse de 1 %.
L'évolution réciproque d'une évolution de coefficient $CM$ a pour coefficient $\dfrac{1}{CM}$ : après une hausse de 25 %, il faut une baisse de 20 % pour revenir à la valeur initiale, car $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$ .

4. Taux moyen et indices

Si une grandeur subit $n$ évolutions de coefficient global $CM$ , le taux moyen $t_m$ vérifie $(1 + t_m)^{n} = CM$ , donc $1 + t_m = CM^{1/n}$ .
Un indice de base 100 est $I = 100 \times \dfrac{V}{V_{\text{réf}}}$ ; le rapport de deux indices est le coefficient multiplicateur entre les deux dates correspondantes.

5. Aux épreuves : pièges fréquents

Additionner des taux successifs : trois hausses de 10 % donnent $1{,}1^{3} = 1{,}331$ , soit +33,1 %, pas +30 %.
Croire qu'une baisse de $t$ % compense une hausse de $t$ %.
Confondre points de pourcentage et pourcentage : passer de 2 % à 3 % est une hausse de 1 point, mais de 50 %.
Diviser le taux global par le nombre de périodes pour obtenir un taux moyen.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Retrouver une valeur initiale

Exemple

Après une hausse de 8 %, une concentration vaut 54 mg/L. Quelle était sa valeur initiale ?

Étape 1 (Coefficient) : $CM = 1{,}08$ , donc $V_1 = 1{,}08 \, V_0$ .
Étape 2 (Diviser) : $V_0 = \dfrac{54}{1{,}08} = 50$ .
Étape 3 (Conclure) : la valeur initiale était 50 mg/L (et non $54 - 8\,\%$ de 54).

Méthode : Calculer un taux moyen

Exemple

Le nombre de cas d'une maladie augmente de 44 % en deux ans. Quel est le taux annuel moyen ?

Étape 1 (Coefficient global) : $CM = 1{,}44$ .
Étape 2 (Racine) : $1 + t_m = 1{,}44^{1/2} = 1{,}2$ .
Étape 3 (Conclure) : $t_m = 0{,}2$ , soit une hausse moyenne de 20 % par an (et non 22 %).

Pièges fréquents

Les taux d'évolution successifs ne s'additionnent pas : ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient.
Un taux d'évolution se calcule toujours par rapport à la valeur de départ.
Une variation de pourcentage s'exprime en points ; une variation relative s'exprime en pourcentage.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Coefficient multiplicateur d'une baisse de 15 % ?

$0{,}85$ .

Évolution réciproque d'une hausse de 25 % ?

Une baisse de 20 %.

Hausse de 10 % puis baisse de 10 % ?

Baisse globale de 1 % ( $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$ ).

Taux moyen sur

n

périodes, coefficient global

CM

$t_m = CM^{1/n} - 1$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Coefficient d'une hausse

Palier 1 · découverte

Le nombre de consultations augmente de 20 %. Par quel coefficient est-il multiplié ? (nombre décimal)

Un indice

Une hausse de $t$ % correspond au coefficient $1 + \dfrac{t}{100}$ .

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Réponse attendue : 1.2

$CM = 1 + \dfrac{20}{100} =$ 1,2.

Exercice 2 Pourcentage de pourcentage

Palier 2 · application

Dans un service, 40 % des patients sont des femmes, et 15 % de ces femmes sont diabétiques.
Quel pourcentage de l'ensemble des patients représentent les femmes diabétiques ? (nombre seul)

Un indice

Multipliez les deux proportions, écrites sous forme décimale.

Voir la correction

Réponse attendue : 6

$0{,}4 \times 0{,}15 = 0{,}06$ , soit 6 % des patients.

Exercice 3 Évolution réciproque

Palier 3 · approfondissement

Après une hausse de 25 %, quel taux d'évolution permet de revenir à la valeur initiale ? Donnez-le en pourcentage, sous forme d'un nombre relatif (négatif pour une baisse).

Un indice

Le coefficient réciproque est l'inverse du coefficient de la hausse.

Voir la correction

Réponse attendue : -20

$\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8 = 1 - 0{,}2$ : il faut une baisse de 20 %, soit un taux de $-20$ %.

Exercice 4 Taux mensuel moyen

Palier 4 · défi

En 6 mois, le nombre de nouveaux cas d'une maladie est divisé par 2. Quel est le taux mensuel moyen d'évolution, en pourcentage ? Donnez un nombre relatif arrondi au centième.

Un indice

Écrivez le coefficient global, puis cherchez $c$ tel que $c^{6}$ lui soit égal.

Voir la correction

Réponse attendue : -10.91

Coefficient global : $0{,}5$ . Coefficient mensuel moyen : $c = 0{,}5^{1/6} \approx 0{,}8909$ .
Taux : $c - 1 \approx -0{,}1091$ , soit $-10{,}91$ % par mois (et non $-50 \div 6 \approx -8{,}33$ %).