Cours et exercices corrigés de prépa santé : Variables aléatoires et loi binomiale

1. Espérance et variance

Si $X$ prend les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$ :
$$E(X) = \sum p_i x_i \qquad V(X) = \sum p_i (x_i - E(X))^{2} = E(X^{2}) - E(X)^{2} \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$
De plus $E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^{2}V(X)$.

2. Schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité $p$) et échec ($1 - p$). Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves identiques et indépendantes.
Le nombre $X$ de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$.
Exemple : 10 patients traités indépendamment, chacun guéri avec probabilité 0,7 : le nombre de guérisons suit $\mathcal{B}(10 ; 0{,}7)$.

3. Formules de la loi binomiale

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1 - p)^{n-k} \qquad E(X) = np \qquad V(X) = np(1 - p)$$
Au moins un succès : $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^{n}$.

4. Taille d'échantillon

Pour avoir au moins une probabilité $\alpha$ d'observer au moins un succès, on résout $1 - (1 - p)^{n} \geq \alpha$, soit $(1 - p)^{n} \leq 1 - \alpha$, puis $n \geq \dfrac{\ln(1 - \alpha)}{\ln(1 - p)}$ (le sens change car $\ln(1 - p) < 0$).
Exemple : $p = 0{,}1$ et $\alpha = 0{,}95$ donnent $n \geq 28{,}4$, soit $n = 29$.

5. Aux épreuves : pièges fréquents

• Écrire $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 1)$ au lieu de $1 - P(X = 0)$.
• Oublier le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ dans $P(X = k)$.
• Utiliser la loi binomiale sans justifier « identiques et indépendantes » (tirages sans remise dans une petite population, par exemple).
• Confondre variance $np(1 - p)$ et écart type $\sqrt{np(1 - p)}$.