Cours et exercices corrigés de prépa santé : Statistiques descriptives : moyenne, écart type, médiane et quartiles

1. Moyenne

Pour une série de valeurs $x_i$ d'effectifs $n_i$ (effectif total $N$) :
$$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum n_i x_i.$$
La moyenne de deux groupes se calcule en pondérant par les effectifs : 10 patients de 70 kg et 15 patients de 80 kg ont une masse moyenne de $\dfrac{700 + 1\,200}{25} = 76$ kg.

2. Variance et écart type

$$V = \frac{1}{N}\sum n_i (x_i - \bar{x})^{2} = \frac{1}{N}\sum n_i x_i^{2} - \bar{x}^{2} \qquad \sigma = \sqrt{V}$$
L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne ; il s'exprime dans l'unité des données.

3. Médiane et quartiles

Les valeurs étant rangées dans l'ordre croissant :

• la médiane partage la série en deux groupes de même effectif (valeur centrale si $N$ est impair, moyenne des deux valeurs centrales si $N$ est pair) ;
• $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales (rang : premier entier $\geq \dfrac{N}{4}$) ; $Q_3$ de même avec 75 % ;
• l'écart interquartile est $Q_3 - Q_1$. Un diagramme en boîte représente min, $Q_1$, médiane, $Q_3$, max.

4. Changement d'unité

Si $y_i = ax_i + b$ : $\bar{y} = a\bar{x} + b$, $\sigma_y = |a|\sigma_x$, $\text{Me}_y = a\,\text{Me}_x + b$ (pour $a > 0$).
Exemple : une température moyenne de 37 °C d'écart type 0,4 °C donne, en degrés Fahrenheit ($y = 1{,}8x + 32$), une moyenne de 98,6 °F et un écart type de 0,72 °F : le décalage $b$ n'agit pas sur l'écart type.

5. Aux épreuves : pièges fréquents

• Prendre la valeur du milieu d'une série non rangée pour la médiane.
• Faire la moyenne de deux moyennes sans pondérer par les effectifs.
• Ajouter le décalage $b$ à l'écart type lors d'un changement d'unité.
• Confondre variance et écart type (oublier la racine carrée).