Cours et exercices corrigés de prépa santé : Probabilités conditionnelles et tests de dépistage

1. Probabilité conditionnelle

Pour $P(A) \neq 0$ : $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad \text{donc} \quad P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$$
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées ; la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.

2. Formule des probabilités totales

Si $M$ et $\overline{M}$ partitionnent l'univers :
$$P(T) = P(M)P_M(T) + P(\overline{M})P_{\overline{M}}(T).$$
Exemple : $P(M) = 0{,}1$, $P_M(T) = 0{,}9$, $P_{\overline{M}}(T) = 0{,}05$ donne $P(T) = 0{,}09 + 0{,}045 = 0{,}135$.

3. Tests de dépistage

Avec $M$ : « être malade » et $T$ : « le test est positif » :

• sensibilité $= P_M(T)$ ; spécificité $= P_{\overline{M}}(\overline{T})$ ; prévalence $= P(M)$ ;
• valeur prédictive positive $\text{VPP} = P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}$ ; valeur prédictive négative $\text{VPN} = P_{\overline{T}}(\overline{M})$.

Quand la maladie est rare, la VPP peut être faible même avec un très bon test : beaucoup de positifs sont des faux positifs.

4. Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ce qui équivaut (si $P(A) \neq 0$) à $P_A(B) = P(B)$.
À ne pas confondre avec incompatibles : $A \cap B = \varnothing$. Pour des événements indépendants, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$.

5. Aux épreuves : pièges fréquents

• Confondre $P_M(T)$ (sensibilité) et $P_T(M)$ (valeur prédictive positive).
• Écrire $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ sans justifier l'indépendance.
• Confondre indépendants et incompatibles.
• Oublier la branche des non-malades dans le calcul de $P(T)$.