Professeur des écoles · Nombres et calculs · PE-02

Cours et exercices corrigés du CRPE : Nombres décimaux, fractions et nombres rationnels

Fractions décimales et écriture décimale, comparaison et rangement, fraction comme quotient et comme partage, opérations sur les fractions, nombres rationnels et non décimaux.

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Objectifs du chapitre

Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture décimale ou à un pourcentage, et inversement.
Comparer, ranger et intercaler des décimaux et des fractions.
Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions.
Distinguer nombres décimaux et rationnels non décimaux.

Le cours

1. Fractions décimales et écriture décimale

Une fraction décimale a pour dénominateur $10$ , $100$ , $1\,000$ … :
$3{,}47 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{7}{100} = \frac{347}{100}.$
Un nombre est décimal s'il peut s'écrire comme une fraction décimale. Une fraction irréductible $\frac{a}{b}$ est décimale si et seulement si les seuls facteurs premiers de $b$ sont $2$ et $5$ : $\frac{3}{8} = 0{,}375$ est décimal, $\frac{1}{3} = 0{,}333\dots$ ne l'est pas.

2. La fraction, plusieurs sens

Partage : $\frac{3}{4}$ d'une tarte, c'est $3$ parts quand on la coupe en $4$ .
Quotient : $\frac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ : $b \times \frac{a}{b} = a$ .
Opérateur : prendre $\frac{3}{4}$ de $60$ , c'est calculer $\frac{3}{4} \times 60 = 45$ .
Repérage : $\frac{3}{4}$ se place sur une droite graduée en partageant l'unité en $4$ .

3. Calculs avec les fractions

$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \qquad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$
Pour additionner, on réduit d'abord au même dénominateur : $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$ .
Pour comparer deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur (ou on compare les produits en croix).

4. Pourcentages

$t\,\%$ signifie $\frac{t}{100}$ : $35\,\% = 0{,}35 = \frac{7}{20}$ .
Prendre $t\,\%$ d'une quantité revient à la multiplier par $\frac{t}{100}$ .

5. Au concours : erreurs d'élèves fréquentes

« $2{,}15 > 2{,}3$ car $15 > 3$ » : l'élève traite la partie décimale comme un entier.
« $0{,}3 \times 0{,}2 = 0{,}6$ » : la règle des virgules est appliquée comme pour l'addition.
« $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ » : addition des numérateurs et des dénominateurs.
« Multiplier agrandit toujours » : c'est faux dès que le facteur est inférieur à $1$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Ranger des décimaux

Exemple

Ranger dans l'ordre croissant $2{,}3$ ; $2{,}15$ ; $2{,}305$ ; $2{,}09$ .

Étape 1 : écrire tous les nombres avec le même nombre de décimales : $2{,}300$ ; $2{,}150$ ; $2{,}305$ ; $2{,}090$ .
Étape 2 : comparer les nombres de millièmes : $2\,090 < 2\,150 < 2\,300 < 2\,305$ .
Conclusion : $2{,}09 < 2{,}15 < 2{,}3 < 2{,}305$ .

Méthode : Problème de fractions d'une quantité

Exemple

Un club dépense $\frac{2}{5}$ de son budget en matériel, puis $\frac{1}{3}$ du reste en déplacements. Quelle fraction du budget reste-t-il ?

Étape 1 : après le matériel, il reste $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ du budget.
Étape 2 : les déplacements coûtent $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ du budget.
Étape 3 : il reste $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ du budget.

Pièges fréquents

« $\frac{1}{3}$ du reste » n'est pas « $\frac{1}{3}$ du total » : toujours identifier le tout auquel la fraction s'applique.
$\frac{1}{3}$ n'est pas égal à $0{,}33$ : c'est un rationnel non décimal, $0{,}33$ n'en est qu'une valeur approchée.
Diviser par un nombre inférieur à $1$ donne un résultat plus grand : $6 \div 0{,}5 = 12$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

À quelle condition une fraction irréductible est-elle un nombre décimal ?

Son dénominateur n'a pas d'autres facteurs premiers que $2$ et $5$ .

Écriture décimale de

\frac{7}{8}

$0{,}875$ .

\frac{2}{3} \div \frac{4}{9}

= ?

$\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{3}{2}$ .

35\,\%

sous forme de fraction irréductible ?

$\frac{7}{20}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Écriture décimale

Palier 1 · découverte

Donner l'écriture décimale de $\dfrac{3}{8}$ .

Un indice

Divisez $3$ par $8$ , ou cherchez une fraction de dénominateur $1\,000$ égale à $\frac{3}{8}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 0.375

$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \times 125}{8 \times 125} = \dfrac{375}{1\,000} = 0{,}375$ .

Exercice 2 Somme de fractions

Palier 2 · application

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
$A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{4}$

Un indice

Réduisez les trois fractions au dénominateur commun $12$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 5/4

$A = \frac{8}{12} + \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}.$

Exercice 3 Retrouver un budget

Palier 3 · approfondissement

Une association dépense $\frac{1}{4}$ de son budget en janvier, puis $\frac{2}{3}$ du reste en février. Il lui reste alors $450$ €.
Quel était son budget initial, en euros ?

Un indice

Exprimez d'abord, en fraction du budget, la somme restante après février.

Voir la correction

Réponse attendue : 1800

Après janvier : $\frac{3}{4}$ du budget. Février : $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ du budget.
Il reste $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ du budget, soit $450$ €.
Le budget initial est $4 \times 450 =$ $1\,800$ €.

Exercice 4 Intercaler un décimal

Palier 4 · défi

Quel est le nombre situé exactement à mi-chemin entre $2{,}7$ et $2{,}71$ ?

Un indice

Écrivez les deux nombres avec trois décimales.

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Réponse attendue : 2.705

$\dfrac{2{,}700 + 2{,}710}{2} = \dfrac{5{,}41}{2} = 2{,}705$ . Entre deux décimaux, il existe toujours d'autres décimaux.