Professeur des écoles · Nombres et calculs · PE-01

Cours et exercices corrigés du CRPE : Nombres entiers, numération et arithmétique

Numération décimale de position, critères de divisibilité, division euclidienne, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, multiples et diviseurs communs, problèmes de partage et d'engrenages.

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Objectifs du chapitre

Expliquer la numération décimale de position (valeur d'un chiffre selon son rang, nombre de dizaines, de centaines…).
Écrire une division euclidienne $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ et l'interpréter dans un problème.
Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10.
Décomposer un entier en produit de facteurs premiers et l'utiliser pour trouver des diviseurs communs ou simplifier une fraction.

Le cours

1. Numération décimale de position

Dans $4\,725$ , le chiffre $7$ est celui des centaines : il vaut $700$ . Mais le nombre de centaines de $4\,725$ est $47$ (on compte aussi les centaines contenues dans les milliers).
$4\,725 = 4 \times 1\,000 + 7 \times 100 + 2 \times 10 + 5$
Un nombre écrit avec $n$ chiffres en base dix est compris entre $10^{n-1}$ et $10^{n} - 1$ .

2. Division euclidienne

Pour deux entiers $a \geq 0$ et $b > 0$ , il existe un unique couple d'entiers $(q ; r)$ tel que
$a = b \times q + r \quad \text{et} \quad 0 \leq r < b.$
$q$ est le quotient, $r$ le reste. Si $r = 0$ , $b$ divise $a$ : $a$ est un multiple de $b$ .
Exemple : $257 = 12 \times 21 + 5$ (et $5 < 12$ ).

3. Critères de divisibilité

Par $2$ : le chiffre des unités est pair. • Par $5$ : il vaut $0$ ou $5$ . • Par $10$ : il vaut $0$ .
Par $4$ : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par $4$ .
Par $3$ (resp. $9$ ) : la somme des chiffres est divisible par $3$ (resp. $9$ ).

Justification pour 9 : $10 = 9 + 1$ , donc chaque puissance de $10$ s'écrit « multiple de $9$ plus $1$ » ; un nombre a donc le même reste dans la division par $9$ que la somme de ses chiffres.

4. Nombres premiers et décomposition

Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même ( $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$ ). $1$ n'est pas premier.
Tout entier $n \geq 2$ se décompose de façon unique (à l'ordre près) en produit de facteurs premiers : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .
Pour tester si $n$ est premier, il suffit d'essayer les diviseurs premiers $p$ tels que $p^2 \leq n$ .

5. Au concours : erreurs d'élèves fréquentes

Confondre chiffre et nombre des dizaines (« dans $352$ il y a $5$ dizaines » au lieu de $35$ ).
Écrire une division avec un reste supérieur ou égal au diviseur : $50 = 6 \times 7 + 8$ est une égalité vraie mais pas une division euclidienne.
Ne pas interpréter le reste : « $50$ élèves, minibus de $8$ places » demande $7$ minibus, pas $6$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Plus grand diviseur commun et partage maximal

Exemple

Un fleuriste a $84$ roses et $60$ tulipes. Il veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.

Étape 1 (Décomposer) : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ .
Étape 2 (Facteurs communs) : on garde les facteurs communs avec le plus petit exposant : $2^2 \times 3 = 12$ .
Étape 3 (Conclure) : $12$ bouquets, chacun de $84 \div 12 = 7$ roses et $60 \div 12 = 5$ tulipes.

Méthode : Prouver une propriété des entiers

Exemple

Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Étape 1 (Nommer) : on note $n$ le plus petit ; les trois entiers sont $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ .
Étape 2 (Calculer) : $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$ .
Étape 3 (Conclure) : $n + 1$ est un entier, donc la somme est un multiple de $3$ . Un exemple numérique ne suffit pas : il faut le calcul général.

Pièges fréquents

$1$ n'est pas un nombre premier : il n'a qu'un seul diviseur.
Un nombre divisible par $2$ et par $4$ n'est pas forcément divisible par $8$ ( $12$ en est un contre-exemple) : on ne multiplie des critères que pour des nombres premiers entre eux ( $2$ et $3$ donnent $6$ ).
Vérifier un énoncé sur quelques exemples ne le démontre pas ; un seul contre-exemple suffit en revanche à le réfuter.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quel est le nombre de dizaines de

3\,482

$348$ dizaines (le chiffre des dizaines est $8$ ).

Condition sur le reste

r

dans la division euclidienne de

a

par

b

$0 \leq r < b$ .

Critère de divisibilité par

9

La somme des chiffres est divisible par $9$ .

Décomposition en facteurs premiers de

72

$72 = 2^3 \times 3^2$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Nombre de centaines

Palier 1 · découverte

Combien y a-t-il de centaines dans le nombre $58\,306$ ?

Un indice

On compte toutes les centaines contenues dans le nombre, pas seulement le chiffre des centaines.

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Réponse attendue : 583

$58\,306 = 583 \times 100 + 6$ : il y a $583$ centaines (le chiffre des centaines, lui, est $3$ ).

Exercice 2 Quotient euclidien

Palier 2 · application

Quel est le quotient de la division euclidienne de $1\,000$ par $37$ ?

Un indice

Cherchez le plus grand multiple de $37$ qui ne dépasse pas $1\,000$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 27

$37 \times 27 = 999$ et $37 \times 28 = 1\,036 > 1\,000$ , donc $1\,000 = 37 \times 27 + 1$ avec $0 \leq 1 < 37$ .
Le quotient est $27$ (et le reste $1$ ).

Exercice 3 Sachets identiques

Palier 3 · approfondissement

Une enseignante dispose de $126$ billes rouges et de $90$ billes bleues. Elle veut réaliser le plus grand nombre possible de sachets identiques en utilisant toutes les billes.
Combien de sachets peut-elle réaliser ?

Un indice

Décomposez $126$ et $90$ en produits de facteurs premiers.

Voir la correction

Réponse attendue : 18

$126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ .
Le plus grand diviseur commun est $2 \times 3^2 = 18$ .
Elle réalise $18$ sachets, contenant chacun $7$ billes rouges et $5$ billes bleues.

Exercice 4 Vrai ou faux : entiers consécutifs

Palier 4 · défi

Affirmation : « Le produit de deux nombres entiers consécutifs est toujours pair. »
Quelle réponse est correcte et correctement justifiée ?

Vrai : de deux entiers consécutifs, l'un est pair, donc leur produit est pair
Faux : $3 \times 5 = 15$ est impair
Vrai seulement si le plus petit des deux est pair
On ne peut pas conclure sans essayer tous les entiers

Un indice

Parmi deux entiers qui se suivent, regardez leur parité.

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Bonne réponse : A. Vrai : de deux entiers consécutifs, l'un est pair, donc leur produit est pair

Deux entiers consécutifs $n$ et $n + 1$ sont de parités différentes : l'un des deux est pair, donc il s'écrit $2k$ et le produit est un multiple de $2$ .
L'affirmation est vraie. ( $3$ et $5$ ne sont pas consécutifs ; et vérifier quelques cas ne constitue pas une preuve.)