Cours et exercices corrigés du CRPE : Nombres relatifs, puissances, racines carrées et ordres de grandeur

1. Nombres relatifs et priorités

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
Le produit de deux nombres de même signe est positif, de signes contraires négatif.
Priorités : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions (de gauche à droite à priorité égale).

2. Puissances

Pour $n \geq 1$ : $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ facteurs), et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ pour $a \neq 0$.
$$a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn}$$
Attention : $-3^2 = -9$ alors que $(-3)^2 = 9$.

3. Notation scientifique

Tout nombre décimal non nul s'écrit $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ (en valeur absolue) et $n$ entier relatif :
$$345\,000 = 3{,}45 \times 10^5 \qquad 0{,}000\,72 = 7{,}2 \times 10^{-4}.$$

4. Racine carrée

Pour $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $\sqrt{49} = 7$.
Carrés parfaits à connaître : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225$.
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ mais $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général ($\sqrt{9 + 16} = 5$, $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$).

5. Au concours : erreurs d'élèves fréquentes

• « $2^3 = 6$ » : confusion entre puissance et produit par l'exposant.
• « $-5 < -2$ est faux car $5 > 2$ » : comparaison des distances à zéro au lieu des positions sur la droite graduée.
• « $3 + 4 \times 2 = 14$ » : calcul de gauche à droite sans priorités.