Cours et exercices corrigés du CRPE : Calcul littéral, équations et mise en équation de problèmes

1. Développer et factoriser

Distributivité : $k(a + b) = ka + kb$ et $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.
Identités remarquables :
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \quad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$
Factoriser, c'est transformer une somme en produit : $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

2. Équations du premier degré

On ne change pas les solutions en ajoutant (ou soustrayant) un même nombre aux deux membres, ni en les multipliant (ou divisant) par un même nombre non nul.
$$5x - 7 = 2x + 8 \iff 3x = 15 \iff x = 5.$$
Produit nul : $A \times B = 0$ si et seulement si $A = 0$ ou $B = 0$.

3. Inéquations

Mêmes règles que pour les équations, sauf que multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité :
$$-2x > 6 \iff x < -3.$$

4. Mise en équation

1. Choisir l'inconnue et dire ce qu'elle représente (« soit $x$ le prix d'un cahier, en euros »).
2. Traduire l'énoncé par une équation.
3. Résoudre.
4. Vérifier que la solution convient (entier, positif…) et rédiger une phrase de conclusion.

5. Au concours : erreurs d'élèves fréquentes

• « $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ » : oubli du double produit.
• « $2x + 3 = 5x$ » : réduction de termes non semblables.
• « $3x = 12$ donc $x = 12 - 3$ » : l'élève « fait passer » le $3$ de l'autre côté sans comprendre l'opération en jeu.
• Lettre vue comme une étiquette (« $3p$ = trois pommes ») plutôt que comme un nombre.