Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Espaces vectoriels, applications linéaires et diagonalisation

1. Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}^{n}$

Une partie $F$ de $\mathbb{K}^{n}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un sous-espace vectoriel si $0 \in F$ et si, pour tous $u, v \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$, $\lambda u + \mu v \in F$.
Exemples : l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène ; $\text{Vect}(u_1, \ldots, u_p)$, ensemble des combinaisons linéaires des $u_i$, plus petit sous-espace les contenant.
L'intersection de deux sous-espaces est un sous-espace ; leur réunion ne l'est pas en général.

2. Familles libres, génératrices, bases, dimension

• $(u_1, \ldots, u_p)$ est libre si $\lambda_1u_1 + \cdots + \lambda_pu_p = 0$ implique $\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0$.
• Elle est génératrice de $F$ si $F = \text{Vect}(u_1, \ldots, u_p)$ ; c'est une base si elle est libre et génératrice : tout vecteur de $F$ s'écrit alors de façon unique comme combinaison des $u_i$.
• Toutes les bases de $F$ ont le même nombre d'éléments, la dimension de $F$ ; $\dim \mathbb{K}^{n} = n$.
• Si $\dim F = d$ : une famille libre a au plus $d$ vecteurs ; une famille libre ou génératrice de $d$ vecteurs de $F$ est une base. Si $G \subset F$ et $\dim G = \dim F$, alors $G = F$.
• Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre.

3. Applications linéaires, noyau, image, rang

$f : \mathbb{K}^{p} \to \mathbb{K}^{n}$ est linéaire si $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$. Elle est représentée par une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ dont la colonne $j$ contient les coordonnées de $f(e_j)$.

• $\text{Ker} f = \{u : f(u) = 0\}$ et $\text{Im} f = \text{Vect}(f(e_1), \ldots, f(e_p))$ sont des sous-espaces ; $f$ est injective si et seulement si $\text{Ker} f = \{0\}$.
• Théorème du rang : $\dim \text{Ker} f + \text{rg} f = p$, où $\text{rg} f = \dim \text{Im} f$.
• Si $n = p$ : $f$ injective $\iff$ $f$ surjective $\iff$ $f$ bijective $\iff$ $A$ inversible.

4. Changement de base

Si $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont deux bases de $\mathbb{K}^{n}$, la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ a pour colonnes les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$ ; elle est inversible.
Coordonnées : $X = PX'$. Endomorphisme : si $A$ est la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$ et $A'$ celle dans $\mathcal{B}'$, alors
$$A' = P^{-1}AP$$
On dit que $A$ et $A'$ sont semblables : elles ont même rang et mêmes valeurs propres.

5. Valeurs propres et vecteurs propres

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Le scalaire $\lambda$ est valeur propre de $A$ s'il existe une colonne $X \neq 0$ telle que $AX = \lambda X$ ; $X$ est un vecteur propre associé.
$\lambda$ est valeur propre $\iff$ $A - \lambda I_n$ n'est pas inversible $\iff$ $\text{rg}(A - \lambda I_n) < n$. Le sous-espace propre est $E_\lambda = \text{Ker}(A - \lambda I_n)$.
Propriétés : des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre ; une matrice triangulaire a pour valeurs propres ses coefficients diagonaux ; une matrice de taille $n$ a au plus $n$ valeurs propres.

6. Diagonalisation

$A$ est diagonalisable s'il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $A = PDP^{-1}$ : les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres formant une base, et les coefficients de $D$ les valeurs propres associées, dans le même ordre.

• $A$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut $n$.
• Condition suffisante : si $A$ a $n$ valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable.
• Puissances : $A^{k} = PD^{k}P^{-1}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$.

Contre-exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ a pour seule valeur propre $1$ et $\dim E_1 = 1 < 2$ : elle n'est pas diagonalisable.