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Véto (BCPST) · Algèbre linéaire et géométrie · VB-08

Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Systèmes linéaires et calcul matriciel

Systèmes linéaires et algorithme du pivot de Gauss, opérations sur les matrices, puissances de matrices, matrices inversibles et calcul de l'inverse, matrices de transition.

🎯 S'entraîner sur ce chapitre 🗂️ Flashcards

Objectifs du chapitre

Le cours

1. Systèmes linéaires et pivot de Gauss

Les opérations élémentaires sur les lignes, Li↔LjL_i \leftrightarrow L_j, Li←αLiL_i \leftarrow \alpha L_i (α≠0\alpha \neq 0) et Li←Li+βLjL_i \leftarrow L_i + \beta L_j (j≠ij \neq i), transforment un système en un système équivalent.
L'algorithme du pivot conduit à un système échelonné ; le nombre de pivots est le rang rr du système. Pour pp inconnues :

  • une équation du type 0=c0 = c avec c≠0c \neq 0 : aucune solution ;
  • sinon, si r=pr = p : solution unique ; si r<pr < p : infinité de solutions, paramétrées par les p−rp - r inconnues secondaires.

Un système homogène admet toujours la solution nulle.

2. Opérations sur les matrices

Pour A∈Mn,p(K)A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et B∈Mp,q(K)B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}), le produit AB∈Mn,q(K)AB \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K}) est défini par
(AB)ij=∑k=1paikbkj(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}
Le produit est associatif et distributif, mais non commutatif en général, et AB=0AB = 0 n'entraîne pas A=0A = 0 ou B=0B = 0.
Transposée : (AT)ij=aji(A^{T})_{ij} = a_{ji} et (AB)T=BTAT(AB)^{T} = B^{T}A^{T}.
Écriture matricielle : un système de nn équations à pp inconnues s'écrit AX=BAX = B avec A∈Mn,p(K)A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), XX et BB des colonnes.

3. Puissances de matrices

Pour AA carrée : A0=InA^{0} = I_n et Ak+1=AkAA^{k+1} = A^{k}A.

  • Diagonale : diag(d1,…,dn)k=diag(d1k,…,dnk)\text{diag}(d_1, \ldots, d_n)^{k} = \text{diag}(d_1^{k}, \ldots, d_n^{k}).
  • Binôme : si AB=BAAB = BA, (A+B)k=∑j=0k(kj)AjBk−j(A + B)^{k} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j}A^{j}B^{k-j}. Très efficace avec A=λIn+NA = \lambda I_n + N où NN est nilpotente (Nm=0N^{m} = 0), car InI_n commute avec toute matrice.
  • Récurrence : on conjecture AkA^{k} sur les premières puissances, puis on prouve la formule par récurrence.

4. Matrices inversibles

A∈Mn(K)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est inversible s'il existe BB telle que AB=BA=InAB = BA = I_n ; il suffit en fait que AB=InAB = I_n. On note B=A−1B = A^{-1}, et (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, (AT)−1=(A−1)T(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}.
Équivalences : AA inversible   ⟺  \iff pour tout YY, le système AX=YAX = Y a une unique solution   ⟺  \iff AX=0AX = 0 n'a que la solution nulle   ⟺  \iff AA est de rang nn.
En taille 2 : (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} est inversible si et seulement si ad−bc≠0ad - bc \neq 0, et son inverse est 1ad−bc(d−b−ca)\dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.

5. Matrices de transition

On observe un système à mm états (sain, malade, immunisé…). On note pijp_{ij} la probabilité de passer de l'état ii à l'état jj en une étape ; la matrice P=(pij)P = (p_{ij}) a des coefficients positifs et la somme de chaque ligne vaut 11.
Si πn\pi_n est la ligne des probabilités d'être dans chaque état à l'étape nn, alors πn+1=πnP\pi_{n+1} = \pi_nP, donc πn=π0Pn\pi_n = \pi_0P^{n}.
Une loi stationnaire est une ligne π\pi de probabilités telle que π=πP\pi = \pi P.
De même, un vecteur d'effectifs par classes d'âge peut évoluer selon Un+1=LUnU_{n+1} = LU_n, d'où Un=LnU0U_n = L^{n}U_0.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Résoudre un système par le pivot de Gauss

Exemple

Résoudre {x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=2\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}

  1. Étape 1 (Éliminer xx) : L2←L2−2L1L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 et L3←L3−L1L_3 \leftarrow L_3 - L_1 donnent −3y−z=−9-3y - z = -9 et y−2z=−4y - 2z = -4.

  2. Étape 2 (Éliminer yy) : L3←3L3+L2L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2 donne −7z=−21-7z = -21, donc z=3z = 3 ; le système échelonné a 3 pivots.

  3. Étape 3 (Remonter) : y=−4+2z=2y = -4 + 2z = 2 puis x=6−y−z=1x = 6 - y - z = 1. Solution unique : (1,2,3)(1, 2, 3), que l'on vérifie dans les trois équations.

Méthode : Calculer l'inverse en résolvant AX=YAX = Y

Exemple

Montrer que A=(110011001)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} est inversible et calculer A−1A^{-1}.

  1. Étape 1 (Système) : AX=YAX = Y s'écrit x+y=ax + y = a, y+z=by + z = b, z=cz = c.

  2. Étape 2 (Résolution) : z=cz = c, y=b−cy = b - c, x=a−b+cx = a - b + c : solution unique pour tout YY, donc AA est inversible.

  3. Étape 3 (Lecture) : X=A−1YX = A^{-1}Y donne A−1=(1−1101−1001)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ; on contrôle que AA−1=I3AA^{-1} = I_3.

Méthode : Calculer une puissance avec le binôme

Exemple

Calculer AnA^{n} pour A=(2102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} et n≥1n \geq 1.

  1. Étape 1 (Décomposer) : A=2I2+NA = 2I_2 + N avec N=(0100)N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} et N2=0N^{2} = 0 ; 2I22I_2 et NN commutent.

  2. Étape 2 (Binôme) : An=∑k=0n(nk)Nk(2I2)n−k=2nI2+n2n−1NA^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}N^{k}(2I_2)^{n-k} = 2^{n}I_2 + n2^{n-1}N, les termes k≥2k \geq 2 étant nuls.

  3. Étape 3 (Conclure) : An=(2nn2n−102n)A^{n} = \begin{pmatrix} 2^{n} & n2^{n-1} \\ 0 & 2^{n} \end{pmatrix} ; pour n=1n = 1 on retrouve bien AA.

Méthode : Exploiter une matrice de transition

Exemple

Un animal est chaque semaine sain (S) ou malade (M), avec P=(0,90,10,40,6)P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} et π0=(1  0)\pi_0 = (1 \ \ 0). Calculer π2\pi_2 et la loi stationnaire.

  1. Étape 1 (Itérer) : π1=π0P=(0,9  0,1)\pi_1 = \pi_0P = (0{,}9 \ \ 0{,}1) puis π2=π1P=(0,81+0,04  0,09+0,06)=(0,85  0,15)\pi_2 = \pi_1P = (0{,}81 + 0{,}04 \ \ 0{,}09 + 0{,}06) = (0{,}85 \ \ 0{,}15).

  2. Étape 2 (Système stationnaire) : π=(a  b)\pi = (a \ \ b) avec πP=π\pi P = \pi donne 0,9a+0,4b=a0{,}9a + 0{,}4b = a, soit a=4ba = 4b, et a+b=1a + b = 1.

  3. Étape 3 (Conclure) : π=(0,8  0,2)\pi = (0{,}8 \ \ 0{,}2) : à long terme, l'animal est malade une semaine sur cinq en moyenne.

Pièges fréquents

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Inverse de (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} si ad−bc≠0ad - bc \neq 0 ?

1ad−bc(d−b−ca)\dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.

Transposée d'un produit ABAB ?

(AB)T=BTAT(AB)^{T} = B^{T}A^{T}.

Nombre de solutions d'un système compatible de rang r<pr < p (pp inconnues) ?

Une infinité, paramétrée par p−rp - r inconnues secondaires.

Condition pour appliquer la formule du binôme à (A+B)n(A + B)^{n} ?

AB=BAAB = BA.

Évolution des lois avec une matrice de transition PP ?

πn+1=πnP\pi_{n+1} = \pi_nP, donc πn=π0Pn\pi_n = \pi_0P^{n}.

Exercices corrigés

Exercice 1 Coefficient d'un produit matriciel

Palier 1 · découverte

On pose A=(2103)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} et B=(142−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.
Quel est le coefficient situé en ligne 1, colonne 2 de la matrice ABAB ?

Un indice

Le coefficient (i,j)(i, j) de ABAB s'obtient avec la ligne ii de AA et la colonne jj de BB.

Voir la correction

Réponse attendue : 7

(AB)1,2=2×4+1×(−1)=8−1=7(AB)_{1,2} = 2 \times 4 + 1 \times (-1) = 8 - 1 = 7.
Pour information, AB=(476−3)AB = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}. Réponse : 7.

Exercice 2 Système à paramètre

Palier 2 · application

Soit a∈Ra \in \mathbb{R} et le système {x+2y=32x+ay=6\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + ay = 6 \end{cases}
Pour quelle(s) valeur(s) de aa ce système admet-il une infinité de solutions ?

  1. a=4a = 4 uniquement
  2. a=−4a = -4 uniquement
  3. Tout réel a≠4a \neq 4
  4. Aucune valeur de aa
Un indice

Éliminez xx dans la seconde équation par une opération sur les lignes.

Voir la correction

Bonne réponse : A. a=4a = 4 uniquement

L2←L2−2L1L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 donne (a−4)y=0(a - 4)y = 0.
Si a≠4a \neq 4 : y=0y = 0, x=3x = 3, solution unique. Si a=4a = 4 : la seconde équation devient 0=00 = 0 et le système se réduit à x+2y=3x + 2y = 3, d'où une infinité de solutions.
Réponse : a=4a = 4 uniquement.

Exercice 3 Inverse par le pivot de Gauss

Palier 3 · approfondissement

Soit A=(101110011)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. On admet que AA est inversible.
Quel est le coefficient situé en ligne 1, colonne 3 de A−1A^{-1} ?

Un indice

Appliquez le pivot de Gauss à la matrice augmentée (A∣I3)(A \mid I_3), ou résolvez AX=YAX = Y en exprimant x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 en fonction de y1,y2,y3y_1, y_2, y_3.

Voir la correction

Réponse attendue : -1/2

AX=YAX = Y s'écrit x1+x3=y1x_1 + x_3 = y_1, x1+x2=y2x_1 + x_2 = y_2, x2+x3=y3x_2 + x_3 = y_3. La somme donne x1+x2+x3=y1+y2+y32x_1 + x_2 + x_3 = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{2}.
Donc x1=y1+y2+y32−y3=y1+y2−y32x_1 = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{2} - y_3 = \dfrac{y_1 + y_2 - y_3}{2}, et ainsi de suite :
A−1=12(11−1−1111−11)A^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Le coefficient (1,3)(1, 3) vaut −12-\dfrac{1}{2}.

Exercice 4 Convergence d'une chaîne à deux états

Palier 4 · défi

Une parcelle est occupée par l'espèce 1 ou l'espèce 2. On note unu_n la probabilité qu'elle soit occupée par l'espèce 1 l'année nn ; on a (un+11−un+1)=(0,80,30,20,7)(un1−un)\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ 1 - u_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_n \\ 1 - u_n \end{pmatrix} et u0=1u_0 = 1.
Montrez que un=0,6+0,4×0,5nu_n = 0{,}6 + 0{,}4 \times 0{,}5^{n}, puis donnez le plus petit entier nn tel que un<0,601u_n < 0{,}601.

Un indice

La première ligne donne une relation de récurrence arithmético-géométrique entre un+1u_{n+1} et unu_n.

Voir la correction

Réponse attendue : 9

un+1=0,8un+0,3(1−un)=0,5un+0,3u_{n+1} = 0{,}8u_n + 0{,}3(1 - u_n) = 0{,}5u_n + 0{,}3. Le point fixe est ℓ=0,6\ell = 0{,}6, et un−0,6=0,5n(u0−0,6)=0,4×0,5nu_n - 0{,}6 = 0{,}5^{n}(u_0 - 0{,}6) = 0{,}4 \times 0{,}5^{n}.
un<0,601  ⟺  0,5n<0,0025  ⟺  2n>400u_n < 0{,}601 \iff 0{,}5^{n} < 0{,}0025 \iff 2^{n} > 400. Comme 28=2562^{8} = 256 et 29=5122^{9} = 512, le plus petit entier est n=9n = 9.