Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Géométrie et produit scalaire

1. Vecteurs et déterminant

Dans le plan, pour $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$. Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul, et $|\det(\vec{u}, \vec{v})|$ est l'aire du parallélogramme qu'ils construisent.
Dans l'espace, trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur déterminant $3 \times 3$ est nul ; on le calcule par développement selon une ligne ou une colonne (ou par la règle de Sarrus).

2. Droites et cercles du plan

• Une droite admet une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$ ; $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal et $\vec{u}(-b, a)$ un vecteur directeur.
• Représentation paramétrique de la droite passant par $A(x_A, y_A)$ dirigée par $\vec{u}(\alpha, \beta)$ : $x = x_A + t\alpha$, $y = y_A + t\beta$, $t \in \mathbb{R}$.
• Distance d'un point $M_0(x_0, y_0)$ à cette droite : $\dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$.
• Le cercle de centre $\Omega(a, b)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$.

3. Droites et plans de l'espace

• Un plan admet une équation $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$, où $\vec{n}(a, b, c)$ est normal au plan. Distance d'un point $M_0$ au plan : $\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$.
• Une droite est décrite par une représentation paramétrique (un point et un vecteur directeur) ou comme intersection de deux plans non parallèles.
• Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; ils sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

4. Produit scalaire dans $\mathbb{R}^{n}$

Pour $x = (x_1, \ldots, x_n)$ et $y = (y_1, \ldots, y_n)$ : $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_iy_i = X^{T}Y$ ; il est bilinéaire, symétrique et $\langle x, x \rangle > 0$ si $x \neq 0$. Norme : $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.

• Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|\,\|y\|$, avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.
• Pythagore : $\|x + y\|^{2} = \|x\|^{2} + \|y\|^{2} \iff \langle x, y \rangle = 0$.
• Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. L'orthogonal $F^{\perp}$ d'un sous-espace $F$ est un sous-espace et $\dim F + \dim F^{\perp} = n$.

5. Projection orthogonale

Soit $F$ un sous-espace de $\mathbb{R}^{n}$ de base orthonormée $(e_1, \ldots, e_p)$. Le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ est
$$p_F(x) = \sum_{i=1}^{p} \langle x, e_i \rangle e_i$$
C'est l'unique vecteur de $F$ tel que $x - p_F(x) \in F^{\perp}$. Il réalise la plus courte distance : pour tout $y \in F$, $\|x - y\| \geq \|x - p_F(x)\|$.
Sur une droite $\text{Vect}(u)$ : $p(x) = \dfrac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^{2}}u$. Cette propriété de minimisation est le fondement de la méthode des moindres carrés.

6. Théorème spectral

Une matrice $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale si $P^{T}P = I_n$, c'est-à-dire si ses colonnes forment une base orthonormée ; alors $P^{-1} = P^{T}$.
Théorème spectral : toute matrice symétrique réelle $S$ est diagonalisable dans une base orthonormée : il existe $P$ orthogonale et $D$ diagonale réelle telles que $S = PDP^{T}$.
De plus, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.