Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Statistique descriptive univariée et bivariée

1. Vocabulaire

On étudie un caractère (ou variable statistique) sur les individus d'une population ou d'un échantillon. Il est qualitatif (couleur de robe, race) ou quantitatif, discret (nombre de petits par portée) ou continu (masse, taille), auquel cas on regroupe souvent les valeurs en classes.
Pour une série de valeurs $x_1, \ldots, x_p$ d'effectifs $n_1, \ldots, n_p$ et d'effectif total $n$, la fréquence de $x_i$ est $f_i = \frac{n_i}{n}$ ; les fréquences cumulées croissantes permettent de lire médiane et quartiles.

2. Indicateurs de position

• Moyenne : $\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} n_ix_i = \sum_{i=1}^{p} f_ix_i$. Si $y_i = ax_i + b$, alors $\overline{y} = a\overline{x} + b$.
• Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif (pour $n$ pair, on prend usuellement la demi-somme des deux valeurs centrales).
• Quartiles : $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; $Q_3$ de même avec 75 %.
• Mode : valeur (ou classe) de plus grand effectif.

La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.

3. Indicateurs de dispersion

• Variance : $s_x^{2} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} n_i(x_i - \overline{x})^{2} = \left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} n_ix_i^{2}\right) - \overline{x}^{2}$ (Koenig-Huygens) ; écart type $s_x = \sqrt{s_x^{2}}$, dans l'unité des données.
• Écart interquartile $Q_3 - Q_1$ et étendue $\max - \min$.
• Si $y_i = ax_i + b$ : $s_y = |a|\,s_x$ (une translation ne change pas la dispersion).

En statistique descriptive, la variance est définie avec le facteur $\frac{1}{n}$.

4. Séries bivariées : covariance et corrélation

Pour $n$ couples $(x_i, y_i)$, le nuage de points a pour point moyen $G(\overline{x}, \overline{y})$.

• Covariance : $s_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) = \left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_iy_i\right) - \overline{x}\,\overline{y}$.
• Coefficient de corrélation linéaire (si $s_x s_y \neq 0$) : $r = \dfrac{s_{xy}}{s_xs_y}$. Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $-1 \leq r \leq 1$, et $|r| = 1$ si et seulement si les points sont alignés.

Plus $|r|$ est proche de $1$, plus un ajustement affine est pertinent ; le signe de $r$ est celui de la pente.

5. Droite des moindres carrés

La droite de régression de $y$ en $x$ est la droite $y = ax + b$ qui minimise $\sum_{i=1}^{n} (y_i - ax_i - b)^{2}$ (somme des carrés des écarts verticaux). Si $s_x \neq 0$ :
$$a = \frac{s_{xy}}{s_x^{2}} \qquad b = \overline{y} - a\overline{x}$$
Elle passe par le point moyen $G$. La droite de régression de $x$ en $y$ est en général différente ; les deux coïncident si et seulement si $|r| = 1$.
Interprétation : le vecteur des valeurs ajustées est le projeté orthogonal, dans $\mathbb{R}^{n}$, de $(y_1, \ldots, y_n)$ sur $\text{Vect}((x_1, \ldots, x_n), (1, \ldots, 1))$.

6. Ajustements après changement de variable

Quand le nuage n'est pas rectiligne, on transforme une variable :

• Croissance exponentielle $y = ke^{\alpha x}$ ($k > 0$) : $z = \ln y$ vérifie $z = \ln k + \alpha x$, relation affine en $x$ ;
• Loi puissance (allométrie) $y = kx^{\alpha}$ : $\ln y = \ln k + \alpha \ln x$, relation affine entre $\ln x$ et $\ln y$.

On calcule la régression sur les données transformées, puis on revient aux variables initiales.
Une corrélation forte ne prouve pas un lien de cause à effet : les deux variables peuvent dépendre d'un troisième facteur.