Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Probabilités et variables aléatoires discrètes

1. Espace probabilisé

Une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ vérifie $P(\Omega) = 1$ et, pour toute suite $(A_n)$ d'événements deux à deux incompatibles, $P\left(\bigcup_n A_n\right) = \sum_n P(A_n)$.
Conséquences : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ; si $A \subset B$, $P(A) \leq P(B)$ ; $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Continuité monotone : si $(A_n)$ est croissante, $P\left(\bigcup_n A_n\right) = \lim P(A_n)$ ; si elle est décroissante, $P\left(\bigcap_n A_n\right) = \lim P(A_n)$.
En situation d'équiprobabilité sur $\Omega$ fini : $P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.

2. Conditionnement, probabilités totales, Bayes

Si $P(B) > 0$ : $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, et $P_B$ est une probabilité.

• Probabilités composées : $P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1)P_{A_1}(A_2) \cdots P_{A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_n)$ (si les conditionnements ont un sens).
• Probabilités totales : si $(A_i)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles, $P(B) = \sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)$.
• Formule de Bayes : $P_B(A_j) = \dfrac{P(A_j)P_{A_j}(B)}{\sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)}$ ; elle « retourne » un conditionnement.

3. Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ; si $P(B) > 0$, cela équivaut à $P_B(A) = P(A)$. Si $A$ et $B$ sont indépendants, $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi.
Des événements $A_1, \ldots, A_n$ sont mutuellement indépendants si $P\left(\bigcap_{i \in J} A_i\right) = \prod_{i \in J} P(A_i)$ pour toute partie $J$ : c'est plus fort que l'indépendance deux à deux.
Indépendance et incompatibilité sont des notions différentes : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

4. Variables discrètes, espérance et variance

La loi d'une variable discrète $X$ est donnée par $X(\Omega)$ et les $P(X = x)$, de somme $1$.

• Espérance : $E(X) = \sum_{x} xP(X = x)$, si la série converge absolument. Transfert : $E(g(X)) = \sum_{x} g(x)P(X = x)$. L'espérance est linéaire et croissante.
• Variance : $V(X) = E\big((X - E(X))^{2}\big) = E(X^{2}) - E(X)^{2}$ (formule de Koenig-Huygens) ; $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
• $E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^{2}V(X)$.

5. Lois usuelles discrètes

• Uniforme sur $[\![1 ; n]\!]$ : $P(X = k) = \frac{1}{n}$, $E(X) = \frac{n+1}{2}$, $V(X) = \frac{n^{2} - 1}{12}$.
• Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $E(X) = p$, $V(X) = p(1 - p)$.
• Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes : $P(X = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n-k}$, $E(X) = np$, $V(X) = np(1 - p)$.
• Géométrique $\mathcal{G}(p)$, rang du premier succès : $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$ pour $k \geq 1$, $E(X) = \frac{1}{p}$, $V(X) = \frac{1 - p}{p^{2}}$.
• Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$ pour $k \in \mathbb{N}$, $E(X) = V(X) = \lambda$.

6. Couples de variables et covariance

La loi conjointe de $(X, Y)$ est donnée par les $P(X = x, Y = y)$ ; les lois marginales s'en déduisent : $P(X = x) = \sum_{y} P(X = x, Y = y)$.

• $X$ et $Y$ sont indépendantes si $P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)$ pour tous $x$, $y$ ; alors $E(XY) = E(X)E(Y)$.
• Covariance : $\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$, et $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)$.
• Indépendance $\Rightarrow$ covariance nulle, mais la réciproque est fausse.
• Stabilité : si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et $Y \sim \mathcal{B}(m, p)$ sont indépendantes, $X + Y \sim \mathcal{B}(n + m, p)$ ; si $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\mu)$ sont indépendantes, $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$.