Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Variables à densité et théorèmes limites

1. Fonction de répartition et densité

La fonction de répartition de $X$ est $F_X(x) = P(X \leq x)$ : elle est croissante, continue à droite, de limites $0$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$, et $P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a)$.
$X$ est à densité si $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $C^{1}$ sauf en un nombre fini de points ; une densité est alors $f = F_X'$ (là où elle existe).
Une fonction $f$ est une densité si $f \geq 0$, $f$ est continue sauf en un nombre fini de points et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = 1$. Alors $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,dt$ et $P(X = a) = 0$ pour tout $a$.

2. Espérance et variance

Si $\int_{-\infty}^{+\infty} |t|f(t)\,dt$ converge, $X$ admet une espérance $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} tf(t)\,dt$.
Transfert : $E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)f(t)\,dt$ sous réserve de convergence absolue.
Variance : $V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2}$, avec les mêmes règles $E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^{2}V(X)$ que dans le cas discret.

3. Lois uniforme et exponentielle

• Uniforme $\mathcal{U}([a ; b])$ : $f(t) = \frac{1}{b - a}$ sur $[a ; b]$ et $0$ ailleurs ; $E(X) = \frac{a + b}{2}$, $V(X) = \frac{(b - a)^{2}}{12}$.
• Exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$, $\lambda > 0$ : $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ pour $t \geq 0$ et $0$ sinon ; $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ ; $E(X) = \frac{1}{\lambda}$, $V(X) = \frac{1}{\lambda^{2}}$.

La loi exponentielle est sans mémoire : pour $s, t \geq 0$, $P_{(X > s)}(X > s + t) = P(X > t)$. Elle modélise des durées de vie sans vieillissement (désintégration, temps d'attente).

4. Loi normale

$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^{2})$ ($\sigma > 0$) a pour densité $f(t) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{(t - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)$, avec $E(X) = \mu$ et $V(X) = \sigma^{2}$.

• Centrage-réduction : $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^{2}) \iff Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$.
• La fonction de répartition $\Phi$ de $\mathcal{N}(0, 1)$ vérifie $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ ; $P(|Z| \leq 1{,}96) \approx 0{,}95$.
• Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^{2})$ et $a \neq 0$, alors $aX + b \sim \mathcal{N}(a\mu + b, a^{2}\sigma^{2})$.

5. Sommes de variables à densité indépendantes

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes de densités $f_X$ et $f_Y$ (bornées par exemple), $X + Y$ admet pour densité le produit de convolution
$$f_{X+Y}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)f_Y(x - t)\,dt$$
Espérances et variances : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et, par indépendance, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$.
Stabilité de la loi normale : si $X \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^{2})$ et $Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^{2})$ sont indépendantes, $X + Y \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^{2} + \sigma_2^{2})$.

6. Inégalités et théorèmes limites

• Markov : si $X \geq 0$ admet une espérance, pour tout $a > 0$, $P(X \geq a) \leq \dfrac{E(X)}{a}$.
• Bienaymé-Tchebychev : si $X$ admet une variance, pour tout $\varepsilon > 0$, $P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^{2}}$.
• Loi faible des grands nombres : si $(X_n)$ sont indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\sigma^{2}$, et $\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} X_k$, alors pour tout $\varepsilon > 0$, $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \to 0$.
• Convergence en loi : $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ en tout point $x$ où $F_X$ est continue. Si $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ avec $np_n \to \lambda > 0$, $X_n$ converge en loi vers $\mathcal{P}(\lambda)$.
• Théorème central limite (admis) : sous les hypothèses de la loi faible avec $\sigma > 0$, $\dfrac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}}$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0, 1)$.