3e · Algorithmique et Outils · Algo

Cours et exercices corrigés de 3e : Algorithmique, Scratch et Tableur

Formules du tableur (=SOMME, =MOYENNE, étirement de cellules), algorithmique Scratch (variables, boucles, conditions).

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Objectifs du chapitre

Comprendre et exploiter un tableur : saisie de formules commençant par =, étirement de cellules et fonctions usuelles (=SOMME, =MOYENNE).
Comprendre et prévoir l'exécution d'un script Scratch comportant des variables et des blocs conditionnels.
Analyser des boucles inconditionnelles (« répéter n fois ») et conditionnelles (« répéter jusqu'à ce que »).
Résoudre des problèmes algorithmiques type Brevet croisant calcul littéral et programmation.

Le cours

1. Le Tableur : Règles d'or et Formules clés

Règle n°1 : Toute formule de tableur commence OBLIGATOIREMENT par le signe égal $=$ (sans le signe $=$ , le tableur affiche du simple texte) !
Fonctions majeures du Brevet :

- $=SOMME(B2:B8)$ : calcule la somme des cellules de B2 à B8.
- $=MOYENNE(B2:B8)$ : calcule la moyenne des valeurs.

Étirement / Recopie vers le bas : les indices de ligne augmentent automatiquement : par exemple, $=B2*3$ recopiée en ligne 3

devient $=B3*3$ .

Étirement vers la droite : les lettres de colonnes avancent ( $=A1+B1$ devient $=B1+C1$ ).

2. Scratch : Les Variables

Une variable informatique stocke une donnée en mémoire.
« mettre [x] à 5 » : affectation directe (initialisation de la variable à 5).
« ajouter 3 à [x] » : incrémentation de la variable ( $x \leftarrow x + 3$ ). Si $x$ valait 5, il vaut maintenant 8.

3. Scratch : Structures conditionnelles et Capteurs

« si <condition> alors ... sinon ... » : oriente l'exécution selon que le test est vrai ou faux.
« demander ... et attendre » : invite l'utilisateur à saisir une valeur, stockée dans le bloc bleu « réponse ».
Les conditions utilisent des opérateurs de comparaison : $=$ , $<$ , $>$ et des opérateurs logiques $et$ , $ou$ , $non$ .

4. Scratch : Boucles et Tracé de polygones réguliers

Boucle « répéter [N] fois » : exécute le corps de boucle un nombre déterminé de fois.
Tracé d'un polygone régulier à $N$ côtés : tourner de $\frac{360^\circ}{N}$ à chaque sommet :

- Triangle équilatéral : tourner de $120^\circ$ ( $360/3$ )
- Carré : tourner de $90^\circ$ ( $360/4$ )
- Pentagone : tourner de $72^\circ$ ( $360/5$ )
- Hexagone : tourner de $60^\circ$ ( $360/6$ ).

À retenir pour le brevet

Tableur : une formule commence par $=$ ; la multiplication s'écrit $*$ et la division $/$ ; en recopiant vers le bas, les numéros de ligne avancent.
Scratch : « mettre … à » remplace la valeur, « ajouter … à » la modifie.
« répéter n fois » : nombre de passages connu ; « répéter jusqu'à » : la boucle s'arrête dès que la condition devient vraie.
Pour comprendre un script, on fait un tableau de suivi des variables.
Polygone régulier à $n$ côtés : le lutin tourne de $\frac{360^\circ}{n}$ à chaque sommet.

Automatismes (questions flash) :

Formule à saisir en B2 pour calculer $3 \times$ A2 $+ 1$ → $=3*A2+1$ .
$x$ vaut 3 ; « mettre x à x * 2 » puis « ajouter 1 à x » → $x = 7$ .
Angle de rotation pour un octogone régulier → $360^\circ \div 8 = 45^\circ$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Écrire la formule de tableur pour calculer un prix TTC

Exemple

En cellule A2 on a le prix HT (120 €) et en B2 le taux de TVA (20%). Écrire la formule à saisir en C2 pour obtenir le prix TTC.

Étape 1 (Début) : La formule commence impérativement par $=$ .
Étape 2 (Expression) : Le prix TTC est égal au prix HT plus le montant de la TVA :
$=A2 + A2*B2$
ou, plus court : $=A2*(1 + B2)$ .
Étape 3 (Étirement) : En étirant cette formule vers le bas en C3, elle s'adaptera automatiquement en $=A3*(1 + B3)$ .

Méthode : Suivre une boucle « répéter jusqu'à » avec un tableau de suivi

Exemple

On exécute le script : « mettre n à 1 » ; « mettre S à 0 » ; « répéter jusqu'à S > 20 : ajouter n à S, puis ajouter 2 à n » ; « dire S ». Quelle valeur le lutin dit-il ? Combien de fois la boucle est-elle exécutée ?

Étape 1 (Initialisation) : $n = 1$ et $S = 0$ . La condition $S > 20$ est fausse, on entre dans la boucle.
Étape 2 (Tableau de suivi) : on note les valeurs après chaque passage.

Passage $S$ $n$ $S > 20$ ?
1 $0 + 1 = 1$ $3$ non
2 $1 + 3 = 4$ $5$ non
3 $4 + 5 = 9$ $7$ non
4 $9 + 7 = 16$ $9$ non
5 $16 + 9 = 25$ $11$ oui
Étape 3 (Conclusion) : après 5 passages, $S = 25 > 20$ : la boucle s'arrête et le lutin dit 25.
Remarque : $S$ est la somme des premiers nombres impairs, $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ .

Passage	$S$	$n$	$S > 20$ ?
1	$0 + 1 = 1$	$3$	non
2	$1 + 3 = 4$	$5$	non
3	$4 + 5 = 9$	$7$	non
4	$9 + 7 = 16$	$9$	non
5	$16 + 9 = 25$	$11$	oui

Méthode : Programme de calcul Scratch et calcul littéral

Exemple

Script : « demander Choisis un nombre et attendre » ; « mettre x à réponse » ; « mettre a à x + 2 » ; « mettre b à x − 2 » ; « dire (a × b) − (x × x) » (dans Scratch, le signe × s'écrit avec l'étoile). Tester avec 5 et 10, puis prouver que le résultat est toujours le même.

Étape 1 (Test avec 5) : $a = 7$ , $b = 3$ , résultat $7 \times 3 - 5 \times 5 = 21 - 25 = -4$ .
Étape 2 (Test avec 10) : $a = 12$ , $b = 8$ , résultat $12 \times 8 - 10 \times 10 = 96 - 100 = -4$ .
Étape 3 (Conjecture) : le programme semble toujours afficher $-4$ .
Étape 4 (Preuve) : pour un nombre $x$ quelconque, le résultat vaut $(x+2)(x-2) - x^2 = x^2 - 4 - x^2 = -4$ .
La conjecture est démontrée pour tout nombre de départ.

Pièges fréquents

Dans un tableur, oublier le signe = au début d'une formule : taper SOMME(A1:A5) au lieu de =SOMME(A1:A5) n'effectue aucun calcul !
Confondre l'angle intérieur d'un polygone avec l'angle de rotation extérieur de Scratch : pour un triangle équilatéral, l'angle intérieur est $60^\circ$ , mais Scratch doit tourner de $120^\circ$ ( $360/3$ ) !
Dans « répéter jusqu'à », la condition est testée avant chaque passage : la boucle s'arrête dès qu'elle devient vraie (et ne s'exécute pas du tout si elle est vraie au départ).
Dans un tableur, le signe de multiplication est obligatoire : on tape =3*A2, et non =3A2 ou =3xA2.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Par quel caractère commence obligatoirement toute formule dans un tableur ?

Par le signe égal $=$ .

Que fait la formule =MOYENNE(B2:B10) dans un tableur ?

Elle calcule la moyenne arithmétique de toutes les valeurs situées entre les cellules B2 et B10 incluses.

Si x vaut 4, que vaut x après l'instruction Scratch « ajouter 5 à x » ?

$x = 9$ (car $4 + 5 = 9$ ).

De quel angle le lutin Scratch doit-il tourner pour tracer un pentagone régulier (5 côtés) ?

$360^\circ \div 5 = 72^\circ$

Si on étire la formule =A1*2 vers le bas en cellule ligne 2, que devient-elle ?

$=A2*2$ (la référence de ligne s'incrémente automatiquement).

Quand s'arrête la boucle « répéter jusqu'à S > 20 » ?

Dès que la condition $S > 20$ devient vraie (elle est testée avant chaque passage).

Quelle formule saisir en B2 pour calculer le double de A2 diminué de 5 ?

$=2*A2-5$

Exercices corrigés

Exercice 1 Règle d'or du Tableur

Palier 1 · découverte

Par quel caractère obligatoire doit impérativement débuter toute formule dans une cellule de tableur pour qu'un calcul soit exécuté ?

Le signe « = » (égal)
Le signe « + » (plus)
Le mot « CALC »
Une parenthèse « ( »

Un indice

Pense au symbole qu'on écrit en mathématiques juste avant le résultat d'un calcul, comme dans « 3 + 4 … 7 ».

Voir la correction

Bonne réponse : A. Le signe « = » (égal)

Toute formule dans un tableur commence impérativement par le signe égal $=$ (ex: $=A1+B1$ ou $=SOMME(B2:B10)$ ).

Exercice 2 Calcul de moyenne sur tableur

Palier 2 · application

Quelle formule parmi les suivantes permet de calculer la moyenne des notes situées de la cellule B2 à la cellule B25 ?

=MOYENNE(B2:B25)
=SOMME(B2:B25)/25
=MOYENNE(B2;B25)
MOYENNE(B2:B25)

Un indice

Pour une plage continue de cellules, on utilise le symbole deux-points $:$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. =MOYENNE(B2:B25)

Parfait ! La fonction officielle est $=MOYENNE(...)$ et les deux-points $:$ désignent toute la plage continue de cellules de B2 jusqu'à B25.

La formule correcte est $=MOYENNE(B2:B25)$ . Les deux-points $:$ indiquent que toutes les cellules de B2 à B25 sont prises en compte.

Exercice 3 Scratch : Tracé d'un polygone régulier (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Dans un script Scratch, on veut tracer un triangle équilatéral avec la boucle « répéter 3 fois ». De quel angle en degrés le lutin doit-il tourner à chaque sommet ?

Un indice

Attention au piège fréquent : le lutin tourne de l'angle extérieur, pas de l'angle intérieur (60°) !

Voir la correction

Réponse attendue : 120

Pour tracer un polygone régulier fermé à $n$ côtés, le lutin effectue un tour complet de $360^\circ$ . Pour un triangle ( $n = 3$ ), il doit donc tourner de :
$\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$
(L'angle intérieur vaut bien $180 - 120 = 60^\circ$ ).

Exercice 4 Défi Scratch : Valeur finale d'une variable

Palier 4 · défi

On considère le script suivant :

Mettre $x$ à $5$
Répéter 4 fois : Mettre $x$ à $2 \times x - 3$

Quelle est la valeur finale de la variable $x$ ?

Un indice

Exécute le script pas à pas en suivant la valeur de $x$ à chaque tour de boucle.

Voir la correction

Réponse attendue : 35

Suivi des étapes :

Départ : $x = 5$
Tour 1 : $x = 2 \times 5 - 3 = 7$
Tour 2 : $x = 2 \times 7 - 3 = 11$
Tour 3 : $x = 2 \times 11 - 3 = 19$
Tour 4 : $x = 2 \times 19 - 3 = 35$

À la fin de l'exécution, $x = 35$ .