Probabilités en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Identifier les 2 conditions pour qu'une expérience soit aléatoire (issues connues, résultat imprévisible).
Calculer la probabilité d'un événement en situation d'équiprobabilité.
Utiliser la propriété de l'événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
Construire et exploiter un arbre pondéré pour une expérience à deux épreuves.
Appliquer les règles de calcul sur un arbre de probabilités (règle du produit sur les branches, règle de la somme sur les chemins).

Le cours

1. Les deux conditions d'une expérience aléatoire

Définition du cours : Une expérience est dite aléatoire si elle remplit deux conditions indispensables :
1. On connaît tous les résultats possibles (appelés les issues).
2. Le résultat final n'est pas prévisible avec certitude à l'avance.

2. Événements et Équiprobabilité

La probabilité d'un événement $A$ est un nombre compris entre 0 et 1 : $0 \le P(A) \le 1$
Événement impossible : $P(\emptyset) = 0$ | Événement certain : $P = 1$ .
La somme des probabilités de toutes les issues possibles est TOUJOURS égale à 1.
En situation d'équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables à } A}{\text{Nombre total d'issues possibles}}$

3. Événement contraire

L'événement contraire de $A$ , noté $\bar{A}$ (ou « non A »), est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas $A$ :
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \quad \iff \quad P(A) + P(\bar{A}) = 1$
Exemple : Si la probabilité de tirer une carte rouge est $\frac{1}{4}$ , alors la probabilité de ne pas tirer de carte rouge est $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

4. Expériences à deux épreuves et Arbre pondéré

Règle 1 (Somme des branches) : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Règle 2 (Chemin / Produit) : La probabilité de l'issue associée à un chemin complet est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Règle 3 (Événement composé / Somme) : La probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.

5. Fréquence et probabilité

Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se stabilise autour de sa probabilité. On peut ainsi estimer une probabilité qu'on ne sait pas calculer (objet non symétrique, situation réelle).
Attention : sur peu d'essais, la fréquence peut être éloignée de la probabilité, et le hasard « n'a pas de mémoire » : après 5 Pile de suite, la probabilité d'obtenir Pile au lancer suivant reste $\dfrac{1}{2}$ .

À retenir pour le brevet

$0 \le P(A) \le 1$ et $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
Équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$ .
Arbre : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins qui réalisent l'événement ; les branches d'un même nœud totalisent $1$ .
Sans remise : le nombre de boules diminue à la seconde épreuve.

Automatismes :

Dé équilibré : probabilité d'obtenir un nombre pair ? $\to$ $\dfrac{1}{2}$ .
$P(A) = 0{,}35$ : $P(\bar{A})$ ? $\to$ $0{,}65$ .
Deux lancers de pièce : probabilité de « deux Pile » ? $\to$ $\dfrac{1}{4}$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer la probabilité avec un arbre à deux épreuves

Exemple

On lance une pièce équilibrée puis on tire une boule dans un sac contenant 2 boules vertes et 3 boules rouges. Quelle est la probabilité d'obtenir (Pile, Rouge) ?

Étape 1 (1re épreuve - Pièce) : $P(\text{Pile}) = \frac{1}{2}$ .
Étape 2 (2e épreuve - Sac) : Il y a $2 + 3 = 5$ boules au total $\implies P(\text{Rouge}) = \frac{3}{5}$ .
Étape 3 (Règle du produit) : Les deux épreuves étant indépendantes :
$P(\text{Pile et Rouge}) = P(\text{Pile}) \times P(\text{Rouge}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ .

Modèle de rédaction (brevet) : Tirage sans remise et arbre pondéré

Exemple

Un sac contient 3 boules rouges (R) et 2 boules vertes (V), indiscernables au toucher. On tire une boule, on ne la remet pas, puis on en tire une seconde. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.

1. Première épreuve : $P(R) = \dfrac{3}{5}$ et $P(V) = \dfrac{2}{5}$ .
2. Seconde épreuve (sans remise) : il reste 4 boules. Après une rouge : 2 R et 2 V, d'où $\dfrac{2}{4}$ et $\dfrac{2}{4}$ . Après une verte : 3 R et 1 V, d'où $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{4}$ .
3. Chemins (produits) : $P(R ; R) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20}$ et $P(V ; V) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20}$ .
4. Événement (somme des chemins) : $P(\text{même couleur}) = \dfrac{6}{20} + \dfrac{2}{20} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ .
Contrôle : la somme des quatre chemins vaut $\dfrac{6 + 6 + 6 + 2}{20} = 1$ .

Méthode : Estimer une probabilité par une fréquence

Exemple

On lance $500$ fois une punaise : elle tombe « pointe en haut » $315$ fois. Estimer la probabilité de l'événement « pointe en haut ».

Étape 1 (Fréquence) : $f = \dfrac{315}{500} = 0{,}63$ .
Étape 2 (Loi des grands nombres) : la punaise n'est pas un objet symétrique, on ne peut pas calculer la probabilité par équiprobabilité. Mais quand le nombre de lancers est grand, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.
Étape 3 (Conclusion) : en notant $H$ l'événement « pointe en haut », on estime $P(H) \approx 0{,}63$ . Avec $5\,000$ lancers, l'estimation serait plus fiable.

Pièges fréquents

Additionner les probabilités le long d'un chemin au lieu de les multiplier : pour un chemin d'arbre, on multiplie les probabilités !
Dans les tirages sans remise, oublier de diminuer le nombre total de boules pour la seconde épreuve !
Croire qu'après une série de Face, Pile devient « plus probable » : chaque lancer d'une pièce équilibrée garde une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelles sont les deux conditions pour qu'une expérience soit aléatoire ?

1. On connaît toutes les issues possibles.
2. Le résultat final n'est pas prévisible à l'avance.

Que vaut toujours la somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire ?

Elle est toujours égale à 1.

Quelle est la formule de la probabilité de l'événement contraire

\bar{A}

?

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Comment calcule-t-on la probabilité d'une issue au bout d'un chemin dans un arbre pondéré ?

On effectue le produit des probabilités portées par chacune des branches de ce chemin.

Si

P(A) = 0{,}73

, quelle est la probabilité de son événement contraire ?

$1 - 0{,}73 = 0{,}27$

Sac de 3 rouges et 2 vertes, deux tirages sans remise : probabilité de deux rouges ?

$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$ .

Sur 1 000 naissances, on observe 512 garçons. Quelle estimation de la probabilité « garçon » ?

La fréquence $\dfrac{512}{1000} = 0{,}512$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Lancer de dé équilibré

Palier 1 · découverte

On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Un indice

Il y a 3 nombres pairs : 2, 4 et 6. Le nombre total de faces est 6.

Voir la correction

Réponse attendue : 0.5

Les issues favorables sont $\{2, 4, 6\}$ (soit 3 issues sur 6) :
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$

Exercice 2 Tirage dans une urne

Palier 2 · application

Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 5 boules bleues. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge sous forme de fraction irréductible ?

Un indice

Calcule le nombre total de boules dans l'urne : $4 + 3 + 5 = 12$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 1/3

Nombre total de boules : $4 + 3 + 5 = 12$ .
$P(\text{Rouge}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Exercice 3 Arbre à deux épreuves (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée (Pile ou Face). Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois Pile sous forme de fraction ?

Un indice

À chaque lancer, la probabilité de Pile est $\frac{1}{2}$ . Multiplie le long du chemin.

Voir la correction

Réponse attendue : 1/4

D'après la règle du produit dans un arbre de probabilités :
$P(\text{Pile, Pile}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0,25$

Exercice 4 Défi Seconde : Au moins un Pile en 3 lancers

Palier 4 · défi

On lance 3 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois Pile ?

Un indice

Pense à l'événement contraire : « n'obtenir aucun Pile », c'est-à-dire obtenir (Face, Face, Face).

Voir la correction

Réponse attendue : 7/8

1. Événement contraire : « obtenir 3 fois Face » :
$P(\text{Face, Face, Face}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
2. Probabilité cherchée :
$P(\text{au moins un Pile}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$