6e · Proportionnalité · 6P1

Cours et exercices corrigés de 6e : Proportionnalité : linéarité, retour à l'unité et échelles

Reconnaître une situation de proportionnalité, compléter un tableau par linéarité ou retour à l'unité, appliquer un pourcentage simple et utiliser une échelle.

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Objectifs du chapitre

Reconnaître une situation de proportionnalité et une situation qui ne l'est pas.
Résoudre un problème de proportionnalité par linéarité (multiplicative ou additive) ou par retour à l'unité.
Représenter une situation de proportionnalité par un tableau et utiliser le coefficient de proportionnalité.
Appliquer un pourcentage simple et utiliser une échelle.

Le cours

1. Situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Proportionnel : le prix payé et la masse de pommes à $2{,}50$ € le kilogramme.
Non proportionnel : la taille d'un enfant et son âge ; le prix d'une course de taxi avec une prise en charge fixe.

Expressions associées : « deux fois plus… », « trois fois moins… », « autant pour chaque… ».

2. Linéarité et retour à l'unité

Exemple : $3$ cahiers coûtent $4{,}50$ €.

Linéarité multiplicative : deux fois plus de cahiers coûtent deux fois plus cher : $6$ cahiers coûtent $9$ €.
Linéarité additive : $5 = 3 + 2$ ; si $2$ cahiers coûtent $3$ €, alors $5$ cahiers coûtent $4{,}50 + 3 = 7{,}50$ €.
Retour à l'unité : $1$ cahier coûte $4{,}50 \div 3 = 1{,}50$ €, donc $7$ cahiers coûtent $7 \times 1{,}50 = 10{,}50$ €.

3. Tableau de proportionnalité

Nombre de cahiers	3	6	7
Prix (€)	4,50	9	10,50

On passe de la première ligne à la seconde en multipliant par le coefficient

1{,}5

3 \times 1{,}5 = 4{,}5

4. Pourcentages et échelles

Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est en prendre $\frac{t}{100}$ : $30\,\%$ de $70$ $= \frac{30}{100} \times 70 = 21$ .
Repères : $50\,\%$ c'est la moitié, $25\,\%$ le quart, $10\,\%$ le dixième.
Sur un plan, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. Une échelle de $\frac{1}{1\,000}$ signifie que $1\text{ cm}$ sur le plan représente $1\,000\text{ cm} = 10\text{ m}$ dans la réalité.

À retenir

Proportionnalité : on multiplie toujours par le même nombre.
Trois méthodes : linéarité (multiplicative ou additive), retour à l'unité, coefficient.
$t\,\%$ d'une quantité $= \frac{t}{100} \times$ quantité ; échelle : penser aux conversions.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Le retour à l'unité

Exemple

$5\text{ kg}$ de pommes coûtent $12$ €. Combien coûtent $3\text{ kg}$ ?

Étape 1 : On calcule le prix d'un kilogramme : $12 \div 5 = 2{,}40$ €.
Étape 2 : On multiplie par la quantité cherchée : $3 \times 2{,}40 = 7{,}20$ €.
Conclusion : $3\text{ kg}$ de pommes coûtent $7{,}20$ €.

Méthode : Utiliser une échelle

Exemple

Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{25\,000}$ , deux villages sont à $6\text{ cm}$ . Quelle est la distance réelle ?

Étape 1 : $1\text{ cm}$ sur la carte représente $25\,000\text{ cm}$ en réalité.
Étape 2 : $6 \times 25\,000 = 150\,000\text{ cm}$ .
Étape 3 : On convertit : $150\,000\text{ cm} = 1\,500\text{ m} = 1{,}5\text{ km}$ .

Pièges fréquents

Toutes les situations ne sont pas proportionnelles : un enfant de $10$ ans ne mesure pas deux fois la taille qu'il avait à $5$ ans.
La linéarité additive utilise une somme de colonnes : on ne peut pas ajouter un même nombre aux deux grandeurs.
Avec une échelle, pense à convertir : $150\,000\text{ cm}$ ne font pas $150\text{ km}$ mais $1{,}5\text{ km}$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Qu'est-ce que le coefficient de proportionnalité ?

C'est le nombre par lequel on multiplie toujours les valeurs d'une grandeur pour obtenir celles de l'autre.

4

croissants coûtent

3{,}20

€. Combien coûtent

8

croissants ?

Deux fois plus de croissants : $2 \times 3{,}20 = 6{,}40$ €.

Combien font

10\,\%

250

Le dixième de $250$ : $25$ .

Combien font

25\,\%

36

Le quart de $36$ : $9$ .

Que signifie une échelle de

\frac{1}{100}

$1\text{ cm}$ sur le plan représente $100\text{ cm} = 1\text{ m}$ en réalité.

Exercices corrigés

Exercice 1 Linéarité multiplicative

Palier 1 · découverte

$4$ croissants coûtent $3{,}20$ €.
Combien coûtent $8$ croissants, en euros ? (même prix unitaire)

Un indice

$8$ croissants, c'est deux fois plus que $4$ croissants.

Voir la correction

Réponse attendue : 6,4

$8 = 2 \times 4$ , donc le prix est deux fois plus grand :
$2 \times 3{,}20 = 6{,}40$
$8$ croissants coûtent $6{,}40$ €.

Exercice 2 Retour à l'unité

Palier 2 · application

$5\text{ kg}$ de pommes coûtent $12$ €.
Combien coûtent $3\text{ kg}$ de ces pommes, en euros ?

Un indice

Calcule d'abord le prix d'un kilogramme.

Voir la correction

Réponse attendue : 7,2

Prix d'un kilogramme : $12 \div 5 = 2{,}40$ €.
Prix de $3\text{ kg}$ : $3 \times 2{,}40 = 7{,}20$ €.

Exercice 3 Appliquer un pourcentage

Palier 3 · approfondissement

Dans un collège, $30\,\%$ des $70$ élèves d'un club pratiquent la natation.
Combien d'élèves du club pratiquent la natation ?

Un indice

$30\,\%$ de $70$ , c'est $\frac{30}{100} \times 70$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 21

$10\,\%$ de $70$ $= 7$ , donc $30\,\%$ de $70$ $= 3 \times 7 = 21$ .
$\frac{30}{100} \times 70 = \frac{2\,100}{100} = 21$

Exercice 4 Défi 5ème : Lire une carte

Palier 4 · défi

Sur une carte de randonnée à l'échelle $\frac{1}{25\,000}$ , deux refuges sont séparés de $6\text{ cm}$ .
Quelle est la distance réelle entre les deux refuges, en kilomètres ?

Un indice

$1\text{ cm}$ sur la carte représente $25\,000\text{ cm}$ en réalité.

Voir la correction

Réponse attendue : 1,5

$6 \times 25\,000 = 150\,000\text{ cm} = 1\,500\text{ m} = 1{,}5\text{ km}$
Les refuges sont à $1{,}5\text{ km}$ l'un de l'autre.