Proportionnalité en 5e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Reconnaître une situation de proportionnalité (tableau, contexte, graphique) ou une situation qui ne l'est pas.
Calculer une quatrième proportionnelle : coefficient, linéarité, retour à l'unité.
Appliquer un pourcentage à une quantité et exprimer une proportion en pourcentage.
Utiliser une échelle sur un plan ou une carte.

Le cours

1. Reconnaître la proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe des valeurs de l'une à celles de l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité.

Masse (kg)	2	5	8
Prix (€)	3	7,50	12

\frac{3}{2} = 1{,}5

;

\frac{7{,}5}{5} = 1{,}5

;

\frac{12}{8} = 1{,}5

: le tableau est proportionnel, de coefficient

1{,}5

(le prix au kilogramme).

Contre-exemple : un taxi qui facture $4$ € de prise en charge plus $2$ € par km. Pour $1$ km on paie $6$ €, pour $2$ km $8$ € (et non $12$ €) : ce n'est pas proportionnel.
Graphique : une situation est proportionnelle lorsque ses points sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère.

2. Calculer une quatrième proportionnelle

Exemple : $3$ kg de tomates coûtent $7{,}50$ €. Combien coûtent $5$ kg ?

Retour à l'unité : $1$ kg coûte $7{,}50 \div 3 = 2{,}50$ €, donc $5$ kg coûtent $5 \times 2{,}50 = 12{,}50$ €.
Coefficient : on multiplie la masse par $2{,}5$ pour obtenir le prix : $5 \times 2{,}5 = 12{,}5$ .
Linéarité : $5 \text{ kg} = 3 \text{ kg} + 2 \text{ kg}$ ; si $2$ kg coûtent $5$ €, alors $5$ kg coûtent $7{,}50 + 5 = 12{,}50$ €.
Égalité des produits en croix (outil qui sera approfondi en 4e) : $x = \frac{5 \times 7{,}5}{3} = 12{,}5$ .

3. Pourcentages

Appliquer un pourcentage : prendre $p\,\%$ d'une quantité $Q$ , c'est calculer $\frac{p}{100} \times Q$ .

$20\,\% \text{ de } 60 = \frac{20}{100} \times 60 = 0{,}2 \times 60 = 12$

Repères : $50\,\%$ c'est la moitié, $25\,\%$ le quart, $10\,\%$ le dixième, $75\,\%$ les trois quarts.
Calculer un pourcentage : on écrit la proportion sous forme de fraction de dénominateur $100$ .

$7 \text{ élèves sur } 25 : \frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 28\,\%$

4. Échelles

Sur un plan ou une carte, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. L'échelle est le coefficient qui permet de passer des longueurs réelles aux longueurs sur le plan, exprimées dans la même unité :
$\text{échelle} = \frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$
Une échelle de $\frac{1}{200}$ signifie que $1\text{ cm}$ sur le plan représente $200\text{ cm} = 2\text{ m}$ en réalité.

À retenir

Proportionnalité : on multiplie toujours par le même nombre.
Retour à l'unité : on divise, puis on multiplie.
$p\,\%$ de $Q$ $= \frac{p}{100} \times Q$ .
Échelle : longueurs dans la même unité avant de calculer.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Vérifier qu'un tableau est proportionnel

Exemple

Le tableau ci-dessous est-il un tableau de proportionnalité ?

Nombre de places	4	6	10
Prix (€)	34	51	80

Étape 1 : On calcule chaque quotient « prix ÷ nombre de places » : $34 \div 4 = 8{,}5$ ; $51 \div 6 = 8{,}5$ ; $80 \div 10 = 8$ .
Étape 2 : Les quotients ne sont pas tous égaux : $8 \neq 8{,}5$ .
Conclusion : ce n'est pas un tableau de proportionnalité (les $10$ places bénéficient d'une réduction).

Méthode : Calculer une quatrième proportionnelle

Exemple

$4$ stylos coûtent $6$ €. Combien coûtent $10$ stylos ?

Étape 1 (retour à l'unité) : $1$ stylo coûte $6 \div 4 = 1{,}50$ €.
Étape 2 : $10$ stylos coûtent $10 \times 1{,}50 = 15$ €.
Contrôle par linéarité : $10 = 4 + 4 + 2$ ; $6 + 6 + 3 = 15$ €. Les deux méthodes concordent.

Méthode : Appliquer et calculer un pourcentage

Exemple

Un collège compte $180$ élèves, dont $45$ demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ? Combien d'élèves représentent $15\,\%$ de l'effectif ?

Étape 1 : Proportion de demi-pensionnaires : $\frac{45}{180} = \frac{1}{4} = \frac{25}{100}$ , soit $25\,\%$ .
Étape 2 : $15\,\%$ de $180$ : $\frac{15}{100} \times 180 = 0{,}15 \times 180 = 27$ élèves.
Contrôle : $10\,\%$ de $180$ vaut $18$ et $5\,\%$ vaut $9$ ; $18 + 9 = 27$ .

Méthode : Utiliser une échelle dans les deux sens

Exemple

Une carte est à l'échelle $\frac{1}{25\,000}$ . (a) Deux villages sont distants de $6{,}4\text{ cm}$ sur la carte : quelle est la distance réelle ? (b) Un lac mesure $3\text{ km}$ de long : quelle est sa longueur sur la carte ?

(a) $1\text{ cm}$ sur la carte représente $25\,000\text{ cm}$ : $6{,}4 \times 25\,000 = 160\,000\text{ cm} = 1\,600\text{ m} = 1{,}6\text{ km}$ .
(b) On convertit dans la même unité : $3\text{ km} = 300\,000\text{ cm}$ .
Puis on divise par $25\,000$ : $300\,000 \div 25\,000 = 12$ , soit $12\text{ cm}$ sur la carte.

Pièges fréquents

Pour une échelle, attention à bien convertir les distances dans la même unité (en cm) avant de calculer !
Toutes les situations ne sont pas proportionnelles : avec une partie fixe (prise en charge, abonnement), doubler la quantité ne double pas le prix.
$20\,\%$ de $60$ ne vaut pas $20$ : on calcule $\frac{20}{100} \times 60 = 12$ .
Un pourcentage se calcule par rapport au total : $45$ élèves sur $180$ , c'est $\frac{45}{180}$ , pas $\frac{45}{100}$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Que représente un graphique dont les points sont alignés avec l'origine ?

Une situation de proportionnalité.

Calculer

25\,\%

de

80

€.

Prendre $25\,\%$ , c'est prendre le quart : $80 \div 4 = 20$ €.

Comment calcule-t-on

20\,\%

d'une somme de

60

€ ?

$\frac{20}{100} \times 60 = 0{,}2 \times 60 = 12$ €.

Que signifie une échelle

\frac{1}{200}

sur un plan d'architecte ?

$1\text{ cm}$ sur le plan représente $200\text{ cm}$ , soit $2\text{ m}$ , dans la réalité.

4

stylos coûtent

6

€. Combien coûtent

10

stylos ?

$1$ stylo coûte $1{,}50$ €, donc $10$ stylos coûtent $15$ €.

Quel pourcentage représentent

7

élèves sur

25

?

$\frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 28\,\%$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Coefficient de proportionnalité

Palier 1 · découverte

Dans un tableau de proportionnalité, la 1ère ligne contient $4$ et la 2ème ligne contient $28$ .
Quel est le coefficient de proportionnalité ?

Un indice

Divise le nombre de la 2ème ligne par celui de la 1ère : $28 \div 4$ .

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Réponse attendue : 7

$k = \frac{28}{4} = 7$

Exercice 2 Quatrième proportionnelle

Palier 2 · application

Le prix de $3\text{ kg}$ de fruits est de $6$ €.
Quel est le prix de $7\text{ kg}$ de ces mêmes fruits ?

Un indice

Prix d'un kg : $6 \div 3 = 2$ €. Multiplie par 7.

Voir la correction

Réponse attendue : 14

$x = \frac{6 \times 7}{3} = 14\text{ euros}$

Exercice 3 Calcul d'un pourcentage d'une quantité

Palier 3 · approfondissement

Dans un collège de $180$ élèves, $20\%$ des élèves sont externes.
Combien d'élèves sont externes ?

Un indice

Calcule $\frac{20}{100} \times 180$ .

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Réponse attendue : 36

$N = 180 \times 0{,}20 = 36\text{ élèves}$

Exercice 4 Défi 4ème : Calcul de distance réelle sur carte à l'échelle

Palier 4 · défi

Sur une carte au $1 / 25\,000$ , la distance entre deux clochers est de $8\text{ cm}$ .
Quelle est la distance réelle sur le terrain en kilomètres ?

Un indice

En cm : $8 \times 25\,000 = 200\,000\text{ cm}$ . Convertis en km ( $1\text{ km} = 100\,000\text{ cm}$ ).

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Réponse attendue : 2

1. Distance en cm : $8 \times 25\,000 = 200\,000\text{ cm}$ .
2. En km : $200\,000 / 100\,000 = 2\text{ km}$ .