Cours et exercices corrigés de 4e : Proportionnalité, ratios et pourcentages (coefficients)

1. Tableau de proportionnalité et Produit en croix

Dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre en multipliant par le coefficient de proportionnalité.

• Égalité des produits en croix :

$$\begin{array}{|c|c|} \hline a & c \\ \hline b & d \\ \hline \end{array} \iff a \times d = b \times c \quad \implies \quad d = \frac{b \times c}{a}$$

• Reconnaître la proportionnalité : les quotients $\dfrac{\text{ligne 2}}{\text{ligne 1}}$ sont tous égaux ; graphiquement, les points sont alignés avec l'origine du repère.

2. Partage selon un ratio

Deux nombres $x$ et $y$ sont dans le ratio $a : b$ si $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$.
Méthode pratique :
1. Calculer le nombre total de « parts » : $a + b$.
2. Calculer la valeur d'une seule part : $\text{Valeur d'une part} = \frac{\text{Quantité totale}}{a + b}$.
3. Multiplier par le nombre de parts de chacun.

3. Pourcentages et Coefficients multiplicateurs

• Prendre $t$ % d'une quantité : on multiplie cette quantité par $\frac{t}{100}$.
• Augmenter de $t$ % revient à multiplier par $(1 + \frac{t}{100})$ :

- Une augmentation de 20 % correspond au coefficient $1 + 0{,}20 = 1{,}20$.

• Diminuer de $t$ % revient à multiplier par $(1 - \frac{t}{100})$ :

- Une réduction de 15 % correspond au coefficient $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.

4. Vitesse moyenne et conversion des unités

La vitesse moyenne $v$ est une grandeur quotient égale à la distance $d$ divisée par le temps $t$ :
$$v = \frac{d}{t} \quad \iff \quad d = v \times t \quad \iff \quad t = \frac{d}{v}$$
Attention capitale aux unités de temps :

• $0{,}5$ h = $30$ min (la moitié d'une heure) | $0{,}25$ h = $15$ min | $0{,}75$ h = $45$ min.
• Pour convertir des minutes en heures décimales : diviser par 60 ($36$ min = $\frac{36}{60} = 0{,}6$ h).
• Pour convertir des heures décimales en minutes : multiplier la partie décimale par 60 ($2{,}4$ h = $2$ h $+ 0{,}4 \times 60$ min = $2$ h $24$ min).

À retenir

• Proportionnalité : on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
• Quatrième proportionnelle : produit en croix.
• Ratio $a : b$ : partager en $a + b$ parts égales.
• Hausse de $t\ \%$ : $\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$ ; baisse de $t\ \%$ : $\times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$ ; pour revenir en arrière, on divise par le coefficient.
• $v = \dfrac{d}{t}$ avec des durées en heures décimales ($15$ min $= 0{,}25$ h).