6e · Nombres et Calculs · 6N8

Cours et exercices corrigés de 6e : Pensée algébrique : nombres inconnus, égalités à trou et motifs

Résoudre des problèmes à nombre inconnu, compléter des égalités à trou, programmes de calcul, modéliser avec des schémas en barres et trouver la régularité d'un motif évolutif.

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Objectifs du chapitre

Trouver un nombre inconnu dans une égalité à trou en utilisant l'opération « inverse ».
Appliquer un programme de calcul et retrouver le nombre de départ.
Modéliser un problème à l'aide d'un schéma en barres pour trouver une quantité inconnue.
Identifier la régularité d'un motif évolutif et prévoir une étape plus lointaine.

Le cours

1. Nombre inconnu et égalité à trou

Une égalité à trou contient un nombre inconnu. On le retrouve grâce au lien entre les opérations :

$\ldots + 27 = 63$ : le nombre cherché est $63 - 27 = 36$ ;
$\ldots - 15 = 40$ : le nombre cherché est $40 + 15 = 55$ ;
$8 \times \ldots = 56$ : le nombre cherché est $56 \div 8 = 7$ ;
$\ldots \div 4 = 9$ : le nombre cherché est $9 \times 4 = 36$ .

On vérifie toujours en remplaçant les pointillés par le nombre trouvé.

2. Programme de calcul

Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquée à un nombre de départ.
Exemple : « Choisir un nombre ; le multiplier par $3$ ; ajouter $5$ . »

Départ $7$ : $7 \times 3 = 21$ , puis $21 + 5 = 26$ .
Pour retrouver le nombre de départ à partir du résultat $35$ , on « remonte » le programme avec les opérations inverses : $35 - 5 = 30$ , puis $30 \div 3 = 10$ .

3. Modéliser avec un schéma en barres

Un schéma en barres représente les quantités par des rectangles de même longueur pour les parts égales.
Exemple : Tom et Lina ont $54$ billes en tout ; Lina en a deux fois plus que Tom.

Tom  : [ part ]
Lina : [ part ][ part ]      total : 54 billes

Il y a $3$ parts égales : $54 \div 3 = 18$ . Tom a $18$ billes et Lina $36$ billes.

4. Motifs évolutifs

Dans un motif évolutif, chaque étape se construit à partir de la précédente selon une règle régulière.
Exemple : à l'étape $1$ on utilise $4$ allumettes, puis on en ajoute $3$ à chaque étape.

Étape	1	2	3	4
Allumettes	4	7	10	13

Règle : nombre d'allumettes

= 3 \times (\text{numéro de l'étape}) + 1

. À l'étape

10

3 \times 10 + 1 = 31

allumettes.

À retenir

Pour trouver un nombre inconnu, on utilise l'opération inverse et on vérifie.
Pour remonter un programme de calcul, on part de la dernière instruction.
Dans un motif, on cherche ce qui est ajouté à chaque étape.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Retrouver le nombre de départ d'un programme de calcul

Exemple

Programme : « Choisir un nombre ; le multiplier par $4$ ; soustraire $6$ . » On obtient $30$ . Quel était le nombre de départ ?

Étape 1 : La dernière opération est « soustraire $6$ » : on fait l'inverse, $30 + 6 = 36$ .
Étape 2 : L'opération précédente est « multiplier par $4$ » : on fait l'inverse, $36 \div 4 = 9$ .
Vérification : $9 \times 4 - 6 = 36 - 6 = 30$ . Le nombre de départ est $9$ .

Méthode : Prévoir une étape d'un motif

Exemple

Un motif compte $5$ carreaux à l'étape $1$ et on ajoute $4$ carreaux à chaque étape. Combien de carreaux à l'étape $20$ ?

Étape 1 : De l'étape $1$ à l'étape $20$ , on ajoute $19$ fois $4$ carreaux.
Étape 2 : $19 \times 4 = 76$ .
Étape 3 : $5 + 76 = 81$ carreaux à l'étape $20$ .

Pièges fréquents

Dans $\ldots - 15 = 40$ , le nombre cherché n'est pas $40 - 15$ mais $40 + 15 = 55$ : vérifie toujours !
Pour remonter un programme de calcul, on part de la dernière instruction.
Dans un motif, l'étape $10$ n'est pas forcément le double de l'étape $5$ : $3 \times 5 + 1 = 16$ mais $3 \times 10 + 1 = 31 \neq 32$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Compléter :

\ldots + 45 = 100

$100 - 45 = 55$ .

Compléter :

6 \times \ldots = 42

$42 \div 6 = 7$ .

Programme :

\times 2

puis

+ 3

. Quel résultat pour le nombre

8

$8 \times 2 + 3 = 16 + 3 = 19$ .

Programme :

\times 2

puis

+ 3

. Le résultat est

25

: quel est le nombre de départ ?

On remonte : $25 - 3 = 22$ , puis $22 \div 2 = 11$ .

Un motif a 2 jetons à l'étape 1 et en gagne 2 à chaque étape. Combien à l'étape 6 ?

$2 + 5 \times 2 = 12$ jetons (c'est le double du numéro de l'étape).

Exercices corrigés

Exercice 1 Égalité à trou (addition)

Palier 1 · découverte

Quel nombre faut-il écrire à la place des pointillés ?
$\ldots + 38 = 105$

Un indice

On cherche le nombre auquel on ajoute 38 pour obtenir 105 : fais une soustraction.

Voir la correction

Réponse attendue : 67

$105 - 38 = 67$ . Vérification : $67 + 38 = 105$ .

Exercice 2 Appliquer un programme de calcul

Palier 2 · application

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre.
Le multiplier par $4$ .
Soustraire $6$ au résultat.

Quel résultat obtient-on en choisissant $9$ ?

Un indice

Applique les instructions dans l'ordre.

Voir la correction

Réponse attendue : 30

$9 \times 4 = 36 \qquad 36 - 6 = 30$
On obtient $30$ .

Exercice 3 Schéma en barres

Palier 3 · approfondissement

Un stylo et une gomme coûtent ensemble $3{,}60$ €. Le stylo coûte deux fois plus cher que la gomme.
Quel est le prix de la gomme, en euros ?

Un indice

Fais un schéma : la gomme correspond à une barre, le stylo à deux barres identiques.

Voir la correction

Réponse attendue : 1,2

Schéma : gomme = $1$ part, stylo = $2$ parts, soit $3$ parts égales pour $3{,}60$ €.
$3{,}60 \div 3 = 1{,}20$
La gomme coûte $1{,}20$ € (et le stylo $2{,}40$ €).

Exercice 4 Défi 5ème : Motif évolutif

Palier 4 · défi

On construit un motif avec des carreaux : à l'étape $1$ , il y a $5$ carreaux, puis on ajoute $4$ carreaux à chaque nouvelle étape ( $5$ , $9$ , $13$ , …).
Combien de carreaux y aura-t-il à l'étape $25$ ?

Un indice

De l'étape $1$ à l'étape $25$ , combien de fois ajoute-t-on $4$ carreaux ?

Voir la correction

Réponse attendue : 101

De l'étape $1$ à l'étape $25$ , on ajoute $24$ fois $4$ carreaux :
$5 + 24 \times 4 = 5 + 96 = 101$
Autre écriture de la règle : $4 \times 25 + 1 = 101$ .