Longueurs et périmètres en 6e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Convertir des longueurs entre le kilomètre et le millimètre à l’aide du tableau de conversion.
Calculer le périmètre d’un polygone en additionnant les longueurs de ses côtés.
Connaître et utiliser les formules du périmètre du carré et du rectangle.
Savoir que le périmètre d’un cercle est proportionnel à son diamètre et utiliser la formule $P = \pi \times d$ .
Calculer le périmètre de figures composées (demi-disques, assemblages).

Le cours

1. Unités de longueur et conversions

L'unité principale de longueur est le mètre (m). Chaque unité vaut 10 fois l'unité située juste à sa droite :
$1\text{ km} = 10\text{ hm} = 100\text{ dam} = 1\,000\text{ m} \quad ; \quad 1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}$

Pour passer à une unité plus petite, on multiplie (par 10, 100, 1 000…).
Pour passer à une unité plus grande, on divise.

Exemples : $3{,}7\text{ km} = 3\,700\text{ m}$ ; $245\text{ mm} = 24{,}5\text{ cm}$ .

2. Périmètre d’un polygone

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Pour un polygone, on additionne les longueurs de tous ses côtés, exprimées dans la même unité.

Carré de côté $c$ : $P = 4 \times c$ .
Rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ : $P = 2 \times (L + \ell) = 2 \times L + 2 \times \ell$ .

Exemple : un rectangle de $7\text{ cm}$ sur $4{,}5\text{ cm}$ a pour périmètre $2 \times (7 + 4{,}5) = 2 \times 11{,}5 = 23\text{ cm}$ .

3. Périmètre d’un cercle

Le périmètre d'un cercle (aussi appelé longueur du cercle) est proportionnel à son diamètre : le coefficient de proportionnalité est le nombre $\pi$ (« pi »), qui vaut environ $3{,}14$ .
$P = \pi \times d = 2 \times \pi \times r$
où $d$ est le diamètre et $r$ le rayon ( $d = 2 \times r$ ).
Exemple : un cercle de rayon $5\text{ cm}$ a un diamètre de $10\text{ cm}$ , donc $P = \pi \times 10 \approx 31{,}4\text{ cm}$ .

À retenir

Longueurs : chaque unité vaut $10$ fois la suivante (km, hm, dam, m, dm, cm, mm).
Carré : $P = 4 \times c$ ; rectangle : $P = 2 \times (L + \ell)$ ; cercle : $P = \pi \times d$ .
Toujours exprimer les longueurs dans la même unité.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Convertir une longueur avec le tableau

Exemple

Convertir $4{,}25\text{ m}$ en $\text{cm}$ .

Étape 1 : On place le chiffre des unités (4) dans la colonne du mètre, puis les autres chiffres à sa droite : 2 en dm, 5 en cm.
Étape 2 : On déplace la virgule juste après la colonne de l'unité demandée (cm).
Étape 3 : On lit le résultat : $4{,}25\text{ m} = 425\text{ cm}$ (on a multiplié par 100).

Méthode : Calculer le périmètre d’une figure composée

Exemple

Une figure est formée d'un carré de côté $6\text{ cm}$ surmonté d'un demi-cercle de diamètre $6\text{ cm}$ . Calculer son périmètre (on prendra $\pi \approx 3{,}14$ ).

Étape 1 : On repère les morceaux du contour : 3 côtés du carré (le 4e est à l'intérieur) et un demi-cercle.
Étape 2 : Côtés : $3 \times 6 = 18\text{ cm}$ . Demi-cercle : $\pi \times 6 \div 2 \approx 3{,}14 \times 3 = 9{,}42\text{ cm}$ .
Étape 3 : On additionne : $P \approx 18 + 9{,}42 = 27{,}42\text{ cm}$ .

Pièges fréquents

On n'additionne jamais des longueurs exprimées dans des unités différentes : $2\text{ m} + 35\text{ cm}$ ne fait pas $37$ , mais $200 + 35 = 235\text{ cm}$ .
Dans la formule $P = \pi \times d$ , il faut le diamètre : si l'énoncé donne le rayon, on le double d'abord.
Dans une figure composée, les segments situés à l'intérieur de la figure ne font pas partie du contour.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Combien de mètres dans

1\text{ km}

?

$1\text{ km} = 1\,000\text{ m}$ .

Convertir

58\text{ mm}

en

\text{cm}

.

$58\text{ mm} = 5{,}8\text{ cm}$ (on divise par 10).

Quelle est la formule du périmètre d’un rectangle ?

$P = 2 \times (L + \ell)$ , avec $L$ la longueur et $\ell$ la largeur.

Quelle est la formule du périmètre d’un cercle ?

$P = \pi \times d$ (ou $2 \times \pi \times r$ ), avec $\pi \approx 3{,}14$ .

Quel est le périmètre d'un carré de côté

2{,}5\text{ cm}

?

$P = 4 \times 2{,}5 = 10\text{ cm}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Conversion de longueurs

Palier 1 · découverte

Convertir en centimètres :
$3{,}6\text{ m} = \dots\text{ cm}$

Un indice

$1\text{ m} = 100\text{ cm}$ : on multiplie par 100.

Voir la correction

Réponse attendue : 360

On passe à une unité plus petite, on multiplie par 100 :
$3{,}6\text{ m} = 3{,}6 \times 100\text{ cm} = 360\text{ cm}$

Exercice 2 Périmètre d’un polygone en unités mélangées

Palier 2 · application

Un triangle a des côtés de $45\text{ mm}$ , $6{,}2\text{ cm}$ et $0{,}5\text{ dm}$ .
Calculer son périmètre en cm.

Un indice

Convertis toutes les longueurs en cm avant d’additionner.

Voir la correction

Réponse attendue : 15,7

$P = 4{,}5 + 6{,}2 + 5 = 15{,}7\text{ cm}$

Exercice 3 Longueur d’un cercle

Palier 3 · approfondissement

Une roue de vélo a un rayon de $35\text{ cm}$ . On prend $\pi \approx 3{,}14$ .
Quelle distance (en cm) parcourt la roue en faisant un tour complet ?

Un indice

La distance parcourue en un tour est le périmètre de la roue : $P = \pi \times d$ .

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Réponse attendue : 219,8

$d = 70\text{ cm}$ , donc :
$P \approx 3{,}14 \times 70 = 219{,}8\text{ cm}$

Exercice 4 Défi 5ème : Périmètre d’un stade

Palier 4 · défi

Une piste est formée d'un rectangle de $80\text{ m}$ sur $60\text{ m}$ dont les deux largeurs sont remplacées par deux demi-cercles de diamètre $60\text{ m}$ . On prend $\pi \approx 3{,}14$ .
Quelle est la longueur d'un tour de piste, en m ?

Un indice

Le contour est formé des deux longueurs de $80\text{ m}$ et de deux demi-cercles, soit un cercle complet de diamètre $60\text{ m}$ .

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Réponse attendue : 348,4

Deux lignes droites : $2 \times 80 = 160\text{ m}$ .
Deux demi-cercles = un cercle de diamètre $60\text{ m}$ : $3{,}14 \times 60 = 188{,}4\text{ m}$ .

$P \approx 160 + 188{,}4 = 348{,}4\text{ m}$