Groupe symétrique — leçon d'oral du CAPES

Prérequis

Situation dans les programmes : dénombrement des permutations, des arrangements et des combinaisons en terminale spécialité ( $n!$ permutations d'un ensemble à $n$ éléments) ; déterminant de deux vecteurs du plan et critère de colinéarité en seconde.
Groupes, sous-groupes, morphismes, noyau, sous-groupe distingué, théorème de Lagrange.
Actions de groupes, orbites, relations d'équivalence.
Espaces vectoriels de dimension finie, applications multilinéaires.

Proposition de plan en trois parties

I. Structure du groupe symétrique

$\mathcal{S}_n$ est le groupe des bijections de $\{1, \dots, n\}$ , de cardinal $n!$ , non commutatif pour $n \ge 3$ . Support, cycles, transpositions. Théorème : toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints, de manière unique à l'ordre près des facteurs ; les supports sont les orbites non réduites à un point de l'action de $\langle \sigma \rangle$ . L'ordre de $\sigma$ est le PPCM des longueurs de ses cycles. Générateurs : les transpositions ; les transpositions $(i\ i+1)$ ; la paire formée de $(1\ 2)$ et $(1\ 2\ \cdots\ n)$ . Conjugaison : $\tau(a_1\ \cdots\ a_k)\tau^{-1} = (\tau(a_1)\ \cdots\ \tau(a_k))$ , et deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont le même type de décomposition. Exemple : $(1\ 3\ 5)(2\ 4)$ est d'ordre 6.

II. Signature et groupe alterné

Inversions ; signature $\varepsilon(\sigma) = \prod_{i \lt j}\frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i} = (-1)^{N(\sigma)}$ , où $N(\sigma)$ est le nombre d'inversions. Théorème : pour $n \ge 2$ , $\varepsilon$ est l'unique morphisme non trivial de $\mathcal{S}_n$ dans $\{-1, 1\}$ . Une transposition a pour signature $-1$ , un cycle de longueur $k$ a pour signature $(-1)^{k-1}$ , et $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n - m}$ où $m$ est le nombre d'orbites de $\sigma$ (points fixes compris). Groupe alterné $\mathcal{A}_n = \ker\varepsilon$ , distingué, d'indice 2 et de cardinal $\frac{n!}{2}$ pour $n \ge 2$ , engendré par les 3-cycles pour $n \ge 3$ .

III. Formes multilinéaires alternées et déterminant

Sur un espace $E$ de dimension $n$ , les formes $n$ -linéaires alternées forment une droite vectorielle ; il en existe une unique valant 1 sur une base $\mathcal{B}$ donnée, le déterminant $\det_{\mathcal{B}}$ . Formule de Leibniz $\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i), i}$ . Conséquences : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ , $\det(A^{\top}) = \det(A)$ , $A$ inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ , développement selon une ligne ou une colonne, relation $A\,\mathrm{com}(A)^{\top} = \det(A)I_n$ , formules de Cramer. Exemple : déterminant de Vandermonde $\prod_{1 \le i \lt j \le n}(x_j - x_i)$ .

Théorème clé et démonstration

Existence et unicité de la signature

Soit $n \ge 2$ . L'application $\varepsilon : \mathcal{S}_n \to \mathbb{Q}$ définie par $\varepsilon(\sigma) = \prod_{1 \le i \lt j \le n}\frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i}$ est à valeurs dans $\{-1, 1\}$ , c'est un morphisme de groupes de $\mathcal{S}_n$ dans $(\{-1, 1\}, \times)$ qui vaut $-1$ sur toute transposition, et c'est l'unique morphisme non trivial de $\mathcal{S}_n$ dans $\{-1, 1\}$ .

Démonstration

1. Réécriture. Notons $\mathcal{P}$ l'ensemble des paires $\{i, j\}$ d'éléments distincts de $\{1, \dots, n\}$ . Le quotient $\frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i}$ ne change pas si l'on échange $i$ et $j$ , donc $\varepsilon(\sigma) = \prod_{\{i, j\} \in \mathcal{P}}\frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i}$ . L'application $\{i, j\} \mapsto \{\sigma(i), \sigma(j)\}$ est une bijection de $\mathcal{P}$ .
2. Valeurs. Par ce changement d'indice, $\prod_{\mathcal{P}}|\sigma(j) - \sigma(i)| = \prod_{\mathcal{P}}|j - i|$ , donc $|\varepsilon(\sigma)| = 1$ et $\varepsilon(\sigma) \in \{-1, 1\}$ .
3. Morphisme. Pour $\sigma, \tau \in \mathcal{S}_n$ , comme $\tau(i) \neq \tau(j)$ : $\varepsilon(\sigma\tau) = \prod_{\mathcal{P}}\frac{\sigma(\tau(j)) - \sigma(\tau(i))}{\tau(j) - \tau(i)} \times \prod_{\mathcal{P}}\frac{\tau(j) - \tau(i)}{j - i}$ . Le second produit vaut $\varepsilon(\tau)$ ; dans le premier, le changement d'indice $\{k, l\} = \{\tau(i), \tau(j)\}$ , bijectif sur $\mathcal{P}$ , montre qu'il vaut $\varepsilon(\sigma)$ .
4. Valeur sur $(1\ 2)$ . La paire $\{1, 2\}$ donne le facteur $-1$ . Pour $j \ge 3$ , les paires $\{1, j\}$ et $\{2, j\}$ donnent ensemble $\frac{j - 2}{j - 1} \times \frac{j - 1}{j - 2} = 1$ , et les paires contenues dans $\{3, \dots, n\}$ donnent 1. Donc $\varepsilon((1\ 2)) = -1$ .
5. Toutes les transpositions. Pour $a \neq b$ , soit $\gamma \in \mathcal{S}_n$ avec $\gamma(1) = a$ et $\gamma(2) = b$ ; alors $(a\ b) = \gamma(1\ 2)\gamma^{-1}$ , et $\varepsilon((a\ b)) = \varepsilon(\gamma)\varepsilon((1\ 2))\varepsilon(\gamma)^{-1} = -1$ car $\{-1, 1\}$ est commutatif.
6. Les transpositions engendrent $\mathcal{S}_n$ . Récurrence sur le nombre de points non fixes : si $\sigma \neq \mathrm{id}$ , soit $i$ avec $\sigma(i) \neq i$ et $t = (i\ \sigma(i))$ . Alors $t\sigma$ fixe $i$ et tous les points fixes de $\sigma$ (un point fixe $k$ de $\sigma$ est distinct de $i$ et de $\sigma(i)$ ), donc a strictement moins de points non fixes ; on conclut par $\sigma = t(t\sigma)$ .
7. Unicité. Soit $\chi : \mathcal{S}_n \to \{-1, 1\}$ un morphisme. Les transpositions étant conjuguées, elles ont toutes la même image $c$ . Comme elles engendrent $\mathcal{S}_n$ , $\chi$ est déterminé par $c$ : si $c = 1$ , $\chi$ est trivial ; si $c = -1$ , $\chi$ coïncide avec $\varepsilon$ sur un système générateur, donc $\chi = \varepsilon$ .

Développements possibles pour l’oral

Déterminant de Vandermonde (niveau L1-L2) : $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{1 \le i \lt j \le n}(x_j - x_i)$ , par récurrence en considérant le déterminant comme un polynôme en $x_n$ ; application : existence et unicité du polynôme d'interpolation de Lagrange de degré au plus $n - 1$ .
Décomposition en cycles à supports disjoints (niveau L2) : existence et unicité par les orbites de l'action de $\langle \sigma \rangle$ , ordre égal au PPCM des longueurs, et détermination de l'ordre maximal d'un élément de $\mathcal{S}_5$ , qui vaut 6.
Le groupe alterné est engendré par les 3-cycles pour $n \ge 3$ (niveau L3) : un produit de deux transpositions est un produit de 3-cycles, grâce à $(a\ b)(a\ c) = (a\ c\ b)$ et $(a\ b)(c\ d) = (a\ c\ b)(a\ c\ d)$ pour $a, b, c, d$ distincts.
Construction du déterminant (niveau L2) : unicité de la forme $n$ -linéaire alternée normalisée, formule de Leibniz, puis $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ et $\det(A^{\top}) = \det(A)$ par le changement d'indice $\sigma \mapsto \sigma^{-1}$ , qui conserve la signature.

Remarques et questions du jury

Un cycle de longueur $k$ est produit de $k - 1$ transpositions, donc sa signature vaut $(-1)^{k-1}$ : un 3-cycle est pair, ce qui surprend souvent.
La décomposition en produit de transpositions n'est pas unique, seule la parité du nombre de facteurs l'est : $(1\ 2\ 3) = (1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2)(2\ 3)$ .
Fixez la convention de composition : $\sigma\tau = \sigma \circ \tau$ applique d'abord $\tau$ . Avec $\sigma = (1\ 2)$ et $\tau = (2\ 3)$ , $\sigma\tau = (1\ 2\ 3)$ alors que $\tau\sigma = (1\ 3\ 2)$ , ce qui montre que $\mathcal{S}_3$ n'est pas commutatif.
L'ordre d'une permutation est le PPCM des longueurs de ses cycles disjoints, et non leur produit : $(1\ 2)(3\ 4)$ est d'ordre 2. La règle ne vaut que pour des cycles à supports disjoints : $(1\ 2)(2\ 3)$ est d'ordre 3.
Lien avec le secondaire : le déterminant de deux vecteurs vu en seconde, $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$ , est le cas $n = 2$ de la formule de Leibniz ; sachez l'interpréter comme une aire orientée.

Exercices corrigés

Exercice 1 Ordre et signature d'un k-cycle

Palier 1 · découverte

Dans le groupe symétrique $\mathcal{S}_n$ , soit $c = (a_1, a_2, \dots, a_k)$ un cycle de longueur $k$ ( $k \ge 2$ ). Quels sont son ordre dans $\mathcal{S}_n$ et sa signature $\varepsilon(c)$ ?

$\mathrm{ord}(c) = k$ et $\varepsilon(c) = (-1)^{k-1}$
$\mathrm{ord}(c) = k$ et $\varepsilon(c) = (-1)^k$
$\mathrm{ord}(c) = k!$ et $\varepsilon(c) = 1$
$\mathrm{ord}(c) = 2$ et $\varepsilon(c) = -1$

Un indice

Un $k$ -cycle se décompose en un produit de $k-1$ transpositions : $(a_1, \dots, a_k) = (a_1, a_k)(a_1, a_{k-1})\dots(a_1, a_2)$ .

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Bonne réponse : A. $\mathrm{ord}(c) = k$ et $\varepsilon(c) = (-1)^{k-1}$

Un $k$ -cycle engendre un sous-groupe d'ordre $k$ , donc $\mathrm{ord}(c) = k$ . De plus, $c$ se décompose en produit de $k-1$ transpositions : $c = (a_1, a_k)(a_1, a_{k-1}) \dots (a_1, a_2)$ . Comme la signature d'une transposition vaut $-1$ , par morphisme de groupe on a $\varepsilon(c) = (-1)^{k-1}$ . En particulier, un cycle est pair si et seulement si sa longueur est impaire.

Exercice 2 Décomposition canonique en cycles disjoints et signature

Palier 2 · application

Dans $\mathcal{S}_6$ , soit la permutation $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}$ . Quelle est sa décomposition en cycles à supports disjoints et quelle est sa signature ?

$\sigma = (1\; 3\; 4)(2\; 5)$ et $\varepsilon(\sigma) = -1$
$\sigma = (1\; 4\; 3)(2\; 5)$ et $\varepsilon(\sigma) = +1$
$\sigma = (1\; 3)(4\; 2\; 5)$ et $\varepsilon(\sigma) = -1$
$\sigma = (1\; 3\; 5\; 2\; 4)$ et $\varepsilon(\sigma) = +1$

Un indice

Suivre les orbites : $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ donne le cycle $(1\; 3\; 4)$ . Puis $2 \mapsto 5 \mapsto 2$ donne $(2\; 5)$ . 6 est fixe.

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Bonne réponse : A. $\sigma = (1\; 3\; 4)(2\; 5)$ et $\varepsilon(\sigma) = -1$

On calcule les orbites successives :

Pour 1 : $\sigma(1) = 3$ , $\sigma(3) = 4$ , $\sigma(4) = 1$ , cycle $(1\; 3\; 4)$ de longueur 3.
Pour 2 : $\sigma(2) = 5$ , $\sigma(5) = 2$ , cycle $(2\; 5)$ de longueur 2.
Pour 6 : $\sigma(6) = 6$ , point fixe.

Ainsi $\sigma = (1\; 3\; 4)(2\; 5)$ . Pour la signature : $\varepsilon(\sigma) = \varepsilon((1\; 3\; 4)) \cdot \varepsilon((2\; 5)) = (-1)^{3-1} \cdot (-1)^{2-1} = (+1) \cdot (-1) = -1$ .

Exercice 3 Classes de conjugaison dans le groupe symétrique

Palier 3 · approfondissement

Soient $\sigma, \tau \in \mathcal{S}_n$ . À quelle condition nécessaire et suffisante $\sigma$ et $\tau$ sont-elles conjuguées dans $\mathcal{S}_n$ (c'est-à-dire $\exists \rho \in \mathcal{S}_n,\; \tau = \rho \sigma \rho^{-1}$ ) ?

Elles ont le même type cyclique (les mêmes longueurs de cycles dans leur décomposition en cycles à supports disjoints)
Elles ont la même signature et le même ordre
Elles commutent : $\sigma \tau = \tau \sigma$
Elles fixent le même nombre de points

Un indice

Le conjugué d'un cycle par $\rho$ est $\rho (a_1, \dots, a_k) \rho^{-1} = (\rho(a_1), \dots, \rho(a_k))$ : la longueur du cycle est conservée.

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Bonne réponse : A. Elles ont le même type cyclique (les mêmes longueurs de cycles dans leur décomposition en cycles à supports disjoints)

Pour tout cycle $c = (a_1, \dots, a_k)$ et toute permutation $\rho$ , $\rho c \rho^{-1} = (\rho(a_1), \dots, \rho(a_k))$ , qui est un cycle de même longueur. La conjugaison préserve donc le nombre et les longueurs de tous les cycles disjoints. Réciproquement, si deux permutations ont la même partition cyclique, on construit explicitement une permutation $\rho$ envoyant chaque cycle de l'une sur un cycle de même longueur de l'autre.

Exercice 4 Simplicité de A_n et résolubilité des équations algébriques

Palier 4 · défi

Quelle est la conséquence fondamentale en théorie de Galois de la simplicité du groupe alterné $\mathcal{A}_n$ pour $n \ge 5$ ?

Le groupe symétrique $\mathcal{S}_n$ n'est pas résoluble pour $n \ge 5$ , donc l'équation générale de degré $n \ge 5$ n'est pas résoluble par radicaux (Théorème d'Abel-Ruffini)
Toutes les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sont diagonalisables
Le groupe alterné n'a pas de représentations irréductibles
Tout polynôme de degré n a toutes ses racines réelles

Un indice

Un groupe simple non abélien ne peut avoir de suite de Jordan-Hölder à quotients abéliens : il n'est donc pas résoluble.

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Bonne réponse : A. Le groupe symétrique $\mathcal{S}_n$ n'est pas résoluble pour $n \ge 5$ , donc l'équation générale de degré $n \ge 5$ n'est pas résoluble par radicaux (Théorème d'Abel-Ruffini)

Pour $n \ge 5$ , $\mathcal{A}_n$ est un groupe simple non abélien (d'ordre $n!/2 \ge 60$ ). Ses seuls sous-groupes distingués sont $\{id\}$ et $\mathcal{A}_n$ . Ainsi, la suite normale de $\mathcal{S}_n$ est $\{id\} \triangleleft \mathcal{A}_n \triangleleft \mathcal{S}_n$ . Comme $\mathcal{A}_n$ n'est pas abélien, $\mathcal{S}_n$ n'est pas résoluble. D'après la correspondance de Galois, le groupe de Galois de l'équation polynomiale générale de degré $n$ est $\mathcal{S}_n$ , qui n'est pas résoluble : les équations de degré $\ge 5$ ne sont donc pas résolubles par radicaux.