Convexité des fonctions réelles d'une…

Prérequis

Situation dans les programmes : en terminale spécialité, fonction convexe définie par la position de la courbe par rapport à ses sécantes ; pour une fonction deux fois dérivable, équivalence admise avec la position par rapport aux tangentes, la croissance de $f'$ et la positivité de $f''$ ; points d'inflexion ; inégalités comme $e^x \ge 1 + x$ et $\ln x \le x - 1$ .
Dérivation, théorème de Rolle et théorème des accroissements finis.
Barycentres et segments dans un espace vectoriel réel.
Continuité, limites de fonctions monotones.

Proposition de plan en trois parties

I. Définition et caractérisations géométriques

Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est convexe si pour tous $x, y \in I$ et $t \in [0 ; 1]$ , $f((1-t)x + ty) \le (1-t)f(x) + tf(y)$ ; elle est strictement convexe si l'inégalité est stricte pour $x \neq y$ et $t \in ]0 ; 1[$ . Interprétation : l'arc est sous la corde ; $f$ est convexe si et seulement si son épigraphe est une partie convexe de $\mathbb{R}^2$ . Lemme des trois pentes : pour $x \lt y \lt z$ dans $I$ , $\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \le \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \le \frac{f(z) - f(y)}{z - y}$ ; de façon équivalente, pour tout $a \in I$ , le taux d'accroissement en $a$ est croissant. Conséquence : une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue et admet en tout point des dérivées à gauche et à droite, avec $f'_g \le f'_d$ . Exemples : $x \mapsto |x|$ , $x \mapsto x^2$ , $\exp$ , $-\ln$ sur $]0 ; +\infty[$ .

II. Caractérisations différentielles

Théorème : si $f$ est dérivable sur $I$ , $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante, si et seulement si la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \ge f(a) + f'(a)(x - a)$ . Si $f$ est deux fois dérivable, $f$ est convexe si et seulement si $f'' \ge 0$ sur $I$ . Point d'inflexion : point où la convexité change, la courbe y traverse sa tangente ; si $f''$ existe, elle s'y annule, mais la réciproque est fausse ( $x \mapsto x^4$ en 0). Exemples : $e^x \ge 1 + x$ sur $\mathbb{R}$ , $\ln x \le x - 1$ sur $]0 ; +\infty[$ , $\sin x \ge \frac{2}{\pi}x$ sur $[0 ; \frac{\pi}{2}]$ par concavité du sinus.

III. Inégalités de convexité et optimisation

Inégalité de Jensen discrète $f\left(\sum p_ix_i\right) \le \sum p_if(x_i)$ pour des poids positifs de somme 1, et version intégrale $f\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b g\right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f \circ g$ pour $g$ continue sur $[a ; b]$ et $f$ convexe sur un intervalle ouvert contenant les valeurs de $g$ . Inégalité arithmético-géométrique $\sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$ pour des réels positifs, par la concavité de $\ln$ ; inégalité de Young $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ , puis inégalités de Hölder et de Minkowski. Optimisation : pour $f$ convexe, tout minimum local est global, l'ensemble des points de minimum est un intervalle, et si $f$ est dérivable, $f'(a) = 0$ équivaut à $a$ point de minimum.

Théorème clé et démonstration

Caractérisation des fonctions convexes dérivables

Soit $I$ un intervalle d'intérieur non vide et $f : I \to \mathbb{R}$ dérivable. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) $f$ est convexe sur $I$ ; (ii) $f'$ est croissante sur $I$ ; (iii) pour tous $a, x \in I$ , $f(x) \ge f(a) + f'(a)(x - a)$ . En particulier, si $f$ est deux fois dérivable, $f$ est convexe si et seulement si $f'' \ge 0$ sur $I$ .

Démonstration

1. Lemme des trois pentes. Soit $x \lt y \lt z$ dans $I$ et $t = \frac{y - x}{z - x} \in ]0 ; 1[$ , de sorte que $y = (1-t)x + tz$ . La convexité donne $f(y) \le (1-t)f(x) + tf(z)$ , soit $f(y) - f(x) \le t(f(z) - f(x))$ ; comme $y - x = t(z - x)$ , on obtient $\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \le \frac{f(z) - f(x)}{z - x}$ . De même $f(y) - f(z) \le (1-t)(f(x) - f(z))$ et $z - y = (1-t)(z - x)$ donnent $\frac{f(z) - f(x)}{z - x} \le \frac{f(z) - f(y)}{z - y}$ .
2. (i) implique (ii). Soit $a \lt b$ dans $I$ . Pour $a \lt x \lt b$ , le lemme donne $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \le \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \le \frac{f(b) - f(x)}{b - x}$ . En faisant tendre $x$ vers $a$ dans l'inégalité de gauche, puis vers $b$ dans celle de droite, on obtient $f'(a) \le \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \le f'(b)$ .
3. (ii) implique (iii). Soit $a \neq x$ dans $I$ . Par le théorème des accroissements finis, $f(x) - f(a) = f'(c)(x - a)$ avec $c$ strictement entre $a$ et $x$ . Si $x > a$ , alors $f'(c) \ge f'(a)$ et $x - a > 0$ ; si $x \lt a$ , alors $f'(c) \le f'(a)$ et $x - a \lt 0$ . Dans les deux cas $f'(c)(x - a) \ge f'(a)(x - a)$ .
4. (iii) implique (i). Soit $x, y \in I$ , $t \in [0 ; 1]$ et $z = (1-t)x + ty \in I$ . En appliquant (iii) au point $a = z$ : $f(x) \ge f(z) + f'(z)(x - z)$ et $f(y) \ge f(z) + f'(z)(y - z)$ . En multipliant par $1 - t \ge 0$ et $t \ge 0$ puis en ajoutant : $(1-t)f(x) + tf(y) \ge f(z) + f'(z)\left((1-t)x + ty - z\right) = f(z)$ .
5. Cas deux fois dérivable. Si $f'' \ge 0$ , $f'$ est croissante par le théorème des accroissements finis appliqué à $f'$ . Réciproquement, si $f'$ est croissante, ses taux d'accroissement sont positifs, donc leur limite $f''(a)$ l'est aussi.

Développements possibles pour l’oral

Inégalité de Jensen et inégalité arithmético-géométrique (niveau L1) : Jensen par récurrence sur le nombre de points, application à la fonction concave $\ln$ , cas d'égalité par stricte concavité ; corollaire exploitable dès le lycée : parmi les rectangles de périmètre donné, le carré a la plus grande aire.
Inégalités de Young, Hölder et Minkowski (niveau L2) : pour $a, b > 0$ et $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ , la concavité de $\ln$ donne $\ln\left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \ge \ln a + \ln b$ ; Hölder s'en déduit par normalisation et Minkowski fournit l'inégalité triangulaire de la norme $\|\cdot\|_p$ .
Régularité des fonctions convexes (niveau L2) : sur un intervalle ouvert, existence des dérivées à gauche et à droite par le lemme des trois pentes, d'où la continuité ; contre-exemple aux bornes : sur $[0 ; 1]$ , la fonction nulle sur $[0 ; 1[$ et égale à 1 en 1 est convexe et discontinue en 1.
Méthode de Newton pour une fonction convexe (niveau L2, lien avec l'algorithmique du lycée) : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[a ; b]$ avec $f' > 0$ , $f'' \ge 0$ et $f(a) \lt 0 \lt f(b)$ , la suite $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ issue de $x_0 = b$ décroît vers l'unique zéro $\ell$ de $f$ , et $0 \le x_{n+1} - \ell \le \frac{M_2}{2m_1}(x_n - \ell)^2$ avec $m_1 = \min f'$ et $M_2 = \max f''$ .

Remarques et questions du jury

Une fonction convexe n'est pas forcément dérivable ( $x \mapsto |x|$ en 0), mais sur un intervalle ouvert elle est continue et admet en tout point une dérivée à gauche et une dérivée à droite.
Aux bornes d'un intervalle fermé, la continuité peut tomber en défaut : la fonction nulle sur $[0 ; 1[$ et égale à 1 en 1 est convexe sur $[0 ; 1]$ .
L'annulation de $f''$ ne suffit pas à définir un point d'inflexion : $f(x) = x^4$ vérifie $f''(0) = 0$ et reste convexe ; il faut un changement de signe de $f''$ .
La stricte convexité n'équivaut pas à $f'' > 0$ : $x \mapsto x^4$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ alors que sa dérivée seconde s'annule en 0.
Situer la notion : en terminale, les équivalences entre caractérisations sont admises ; le jury attend que le candidat sache les démontrer avec le lemme des trois pentes et les accroissements finis, et propose des inégalités utilisables en classe comme $e^x \ge 1 + x$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Caractérisation différentielle de la convexité par les tangentes

Palier 1 · découverte

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ . Laquelle des propriétés suivantes est équivalente à la convexité de $f$ sur $I$ ?

Pour tout $x_0 \in I$ , le graphe de f est situé au-dessus de sa tangente en $x_0$ : $\forall x \in I,\; f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
La dérivée $f'$ est décroissante sur I
La fonction f est positive sur I
L'intégrale de f est toujours positive

Un indice

La dérivée d'une fonction convexe est croissante. L'inégalité des accroissements finis donne la position de la courbe par rapport à la tangente.

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Bonne réponse : A. Pour tout $x_0 \in I$ , le graphe de f est situé au-dessus de sa tangente en $x_0$ : $\forall x \in I,\; f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Pour une fonction dérivable sur un intervalle, $f$ est convexe ssi sa dérivée $f'$ est croissante ssi pour tout $x_0$ , la courbe représentative est au-dessus de sa tangente au point $x_0$ : $f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ pour tout $x \in I$ .

Exercice 2 Inégalité arithmético-géométrique via la convexité de -ln

Palier 2 · application

En appliquant l'inégalité de Jensen à la fonction strictement convexe $f(t) = -\ln(t)$ sur $]0, +\infty[$ avec des poids égaux $p_i = 1/n$ , quelle inégalité fondamentale obtient-on pour des réels $x_1, \dots, x_n > 0$ ?

$\sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ (inégalité arithmético-géométrique)
$\sum_{i=1}^n x_i^2 \le (\sum_{i=1}^n x_i)^2$
$\frac{1}{n}\sum x_i \le \min(x_i)$
$\ln(x_1 + \dots + x_n) \le \sum \ln(x_i)$

Un indice

Jensen donne $-\ln(\frac{1}{n}\sum x_i) \le \frac{1}{n}\sum(-\ln(x_i)) = -\ln((\prod x_i)^{1/n})$ .

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Bonne réponse : A. $\sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ (inégalité arithmético-géométrique)

La fonction $f(t) = -\ln(t)$ est deux fois dérivable et $f''(t) = 1/t^2 > 0$ , donc elle est strictement convexe sur $]0, +\infty[$ . L'inégalité de Jensen appliquée avec les poids $p_i = 1/n$ donne : $-\ln\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right) \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n -\ln(x_i) = -\ln\left(\prod_{i=1}^n x_i^{1/n}\right)$ . En multipliant par $-1$ et en appliquant l'exponentielle (croissante) : $(\prod_{i=1}^n x_i)^{1/n} \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ , avec égalité ssi tous les $x_i$ sont égaux.

Exercice 3 Inégalité de Hölder pour les suites

Palier 3 · approfondissement

Soient $p, q > 1$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . D'après l'inégalité de Hölder, que vaut la majoration pour des suites réelles $(a_k), (b_k)$ ?

$\sum_{k=1}^n |a_k b_k| \le \left(\sum_{k=1}^n |a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n |b_k|^q\right)^{1/q}$
$\sum |a_k b_k| \le \sum |a_k|^p + \sum |b_k|^q$
$\sum |a_k b_k| = \sum |a_k| \sum |b_k|$
$\sum |a_k b_k| \le \frac{1}{pq} \sum (|a_k| + |b_k|)$

Un indice

Elle découle de l'inégalité de Young $uv \le \frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q}$ appliquée aux vecteurs normalisés $\frac{|a_k|}{\|a\|_p}$ et $\frac{|b_k|}{\|b\|_q}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $\sum_{k=1}^n |a_k b_k| \le \left(\sum_{k=1}^n |a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n |b_k|^q\right)^{1/q}$

L'inégalité de Hölder est une conséquence de l'inégalité de Young $uv \le \frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q}$ (obtenue par convexité de l'exponentielle avec poids $1/p$ et $1/q$ ). En posant $u = \frac{|a_k|}{\|a\|_p}$ et $v = \frac{|b_k|}{\|b\|_q}$ et en sommant pour $k=1$ à $n$ : $\frac{\sum |a_k b_k|}{\|a\|_p \|b\|_q} \le \frac{1}{p} \frac{\sum |a_k|^p}{\|a\|_p^p} + \frac{1}{q} \frac{\sum |b_k|^q}{\|b\|_q^q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . D'où $\sum |a_k b_k| \le \|a\|_p \|b\|_q$ .

Exercice 4 Régularité des fonctions convexes sur un ouvert

Palier 4 · défi

Soit $f : ]a, b[ \to \mathbb{R}$ une fonction convexe sur un intervalle ouvert. Laquelle des propriétés de régularité suivantes est TOUJOURS vraie ?

f est continue sur $]a, b[$ , et admet en tout point une dérivée à gauche $f'_g(x)$ et une dérivée à droite $f'_d(x)$ avec $f'_g(x) \le f'_d(x)$
f est deux fois dérivable en tout point de $]a, b[$
f est de classe C1 sur $]a, b[$
f est uniformément continue sur tout l'intervalle $]a, b[$

Un indice

Penser au lemme des trois cordes : le taux d'accroissement est croissant par rapport à chaque variable.

Voir la correction

Bonne réponse : A. f est continue sur $]a, b[$ , et admet en tout point une dérivée à gauche $f'_g(x)$ et une dérivée à droite $f'_d(x)$ avec $f'_g(x) \le f'_d(x)$

D'après le lemme des trois cordes, pour $x \in ]a, b[$ , le taux d'accroissement $t \mapsto \frac{f(t) - f(x)}{t - x}$ est croissant. Il admet donc des limites à gauche et à droite finies en $x$ , d'où l'existence de $f'_g(x)$ et $f'_d(x)$ avec $f'_g(x) \le f'_d(x)$ . En particulier, $f$ est dérivable à droite et à gauche en tout point, ce qui entraîne immédiatement sa continuité sur $]a, b[$ . De plus, $f$ est localement lipschitzienne sur tout compact intérieur.