Réduction des endomorphismes — leçon d'oral du CAPES

Prérequis

Situation dans les programmes : la réduction n'est pas enseignée au lycée, mais l'option mathématiques expertes de terminale étudie les matrices, les suites de matrices colonnes $U_{n+1} = AU_n$ , le calcul de puissances de matrices et les marches aléatoires sur un graphe, où la diagonalisation intervient implicitement.
Espaces vectoriels de dimension finie, rang et théorème du rang, matrice d'un endomorphisme et changement de base.
Déterminant, matrices semblables, trace.
Polynômes sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ : division euclidienne, racines et multiplicité, théorème de d'Alembert-Gauss, polynômes premiers entre eux et identité de Bézout.

Proposition de plan en trois parties

I. Éléments propres et sous-espaces stables

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ . Un scalaire $\lambda$ est valeur propre de $u$ s'il existe $x \neq 0$ tel que $u(x) = \lambda x$ ; sous-espace propre $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ , spectre $\mathrm{Sp}(u)$ . Sous-espaces stables ; si $u$ et $v$ commutent, les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$ . Théorème : des sous-espaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes sont en somme directe ; corollaire : une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre, et $u$ possède au plus $n$ valeurs propres. Exemple : la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ du plan euclidien n'a aucune valeur propre réelle.

II. Polynôme caractéristique et diagonalisation

Polynôme caractéristique $\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ , unitaire de degré $n$ , de coefficient $-\mathrm{tr}(u)$ en $X^{n-1}$ et de coefficient constant $(-1)^n\det(u)$ ; ses racines dans $\mathbb{K}$ sont les valeurs propres. Multiplicité algébrique $m_\lambda$ et dimension $d_\lambda = \dim E_\lambda$ , avec $1 \le d_\lambda \le m_\lambda$ . Théorème : $u$ est diagonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et $d_\lambda = m_\lambda$ pour toute valeur propre ; condition suffisante : $\chi_u$ scindé à racines simples. Contre-exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable car $d_1 = 1$ et $m_1 = 2$ . Applications : calcul de $A^k$ grâce à $A = PDP^{-1}$ , suites récurrentes linéaires, systèmes différentiels.

III. Polynômes d'endomorphismes et trigonalisation

Polynômes annulateurs, polynôme minimal $\pi_u$ , dont les racines sont exactement les valeurs propres. Lemme des noyaux : si $P = P_1 \cdots P_r$ avec des $P_i$ premiers entre eux deux à deux, alors $\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \cdots \oplus \ker P_r(u)$ . Théorème : $u$ est diagonalisable si et seulement s'il annule un polynôme scindé à racines simples. Théorème de Cayley-Hamilton : $\chi_u(u) = 0$ . Trigonalisation : $u$ est trigonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé ; toute matrice complexe est trigonalisable. Exemples : un projecteur ( $p^2 = p$ ) et une symétrie ( $s^2 = \mathrm{id}$ ) sont diagonalisables ; une matrice nilpotente non nulle ne l'est pas.

Théorème clé et démonstration

Critère de diagonalisabilité par les sous-espaces propres

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ , de valeurs propres distinctes $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ . Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) $u$ est diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ ; (ii) $E = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}$ ; (iii) $\sum_{i=1}^{k}\dim E_{\lambda_i} = n$ ; (iv) $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et, pour tout $i$ , $\dim E_{\lambda_i}$ est égale à la multiplicité $m_{\lambda_i}$ de $\lambda_i$ comme racine de $\chi_u$ .

Démonstration

1. Lemme : la somme $E_{\lambda_1} + \cdots + E_{\lambda_k}$ est directe. Récurrence sur $k$ , le cas $k = 1$ étant clair. Soit $v_i \in E_{\lambda_i}$ avec $v_1 + \cdots + v_k = 0$ . En appliquant $u$ : $\lambda_1v_1 + \cdots + \lambda_kv_k = 0$ . En retranchant $\lambda_k$ fois la première relation : $\sum_{i=1}^{k-1}(\lambda_i - \lambda_k)v_i = 0$ , avec $(\lambda_i - \lambda_k)v_i \in E_{\lambda_i}$ . Par hypothèse de récurrence, $(\lambda_i - \lambda_k)v_i = 0$ , donc $v_i = 0$ pour $i \le k - 1$ car $\lambda_i \neq \lambda_k$ ; enfin $v_k = 0$ .
2. Lemme : $d_\lambda \le m_\lambda$ . Soit $d = \dim E_\lambda$ et $(e_1, \dots, e_d)$ une base de $E_\lambda$ , complétée en une base $\mathcal{B}$ de $E$ . La matrice de $u$ dans $\mathcal{B}$ est triangulaire par blocs, de blocs diagonaux $\lambda I_d$ et $C$ . Donc $\chi_u = (X - \lambda)^d\chi_C$ , et $(X - \lambda)^d$ divise $\chi_u$ , soit $d \le m_\lambda$ .
3. (i) implique (ii). Une base de vecteurs propres montre que $E = E_{\lambda_1} + \cdots + E_{\lambda_k}$ ; la somme est directe par l'étape 1.
4. (ii) équivaut à (iii). La somme étant directe, $\dim(E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}) = \sum \dim E_{\lambda_i}$ ; ce sous-espace est égal à $E$ si et seulement si sa dimension vaut $n$ .
5. (ii) implique (i). La concaténation de bases des $E_{\lambda_i}$ est une base de $E$ formée de vecteurs propres.
6. (i) implique (iv). Dans une base de vecteurs propres, la matrice de $u$ est diagonale, donc $\chi_u = \prod_{i=1}^{k}(X - \lambda_i)^{d_{\lambda_i}}$ : $\chi_u$ est scindé et $m_{\lambda_i} = d_{\lambda_i}$ .
7. (iv) implique (iii). Si $\chi_u$ est scindé, la somme des multiplicités de ses racines est son degré $n$ , donc $\sum d_{\lambda_i} = \sum m_{\lambda_i} = n$ .

Développements possibles pour l’oral

Lemme des noyaux et critère « $u$ est diagonalisable si et seulement s'il annule un polynôme scindé à racines simples » (niveau L2) : preuve par l'identité de Bézout dans $\mathbb{K}[X]$ , puis application : tout endomorphisme vérifiant $u^3 = u$ est diagonalisable.
Suite de Fibonacci par la réduction (niveau L1-L2, lien avec les mathématiques expertes) : la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $-\frac{1}{\varphi}$ , d'où la formule $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n - \left(-\frac{1}{\varphi}\right)^n\right)$ .
Théorème de Cayley-Hamilton (niveau L2) : preuve par les sous-espaces cycliques et les matrices compagnons, ou par densité des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
Marche aléatoire à deux états (lien avec l'option mathématiques expertes) : diagonalisation de la matrice de transition $\begin{pmatrix} 1-p & p \\ q & 1-q \end{pmatrix}$ , de valeurs propres $1$ et $1 - p - q$ , et convergence vers la loi stationnaire $\left(\frac{q}{p+q}, \frac{p}{p+q}\right)$ lorsque $0 \lt p + q \lt 2$ .

Remarques et questions du jury

Ne confondez pas polynôme caractéristique et polynôme minimal : pour $u = \mathrm{id}_E$ avec $\dim E = n$ , $\chi_u = (X - 1)^n$ alors que $\pi_u = X - 1$ .
Le corps de base compte : $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ , faute de valeur propre réelle, mais l'est sur $\mathbb{C}$ , avec les valeurs propres $i$ et $-i$ .
Avoir $n$ valeurs propres distinctes est une condition suffisante, non nécessaire : $I_n$ est diagonale et n'a qu'une seule valeur propre.
Une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral), mais une matrice symétrique complexe ne l'est pas toujours : $\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}$ est nilpotente et non nulle.
Le jury vérifie la maîtrise du calcul : pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , il faut trouver rapidement $\mathrm{Sp}(A) = \{1, 3\}$ , les vecteurs propres $(1, -1)$ et $(1, 1)$ , puis exprimer $A^n$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Caractérisation spectrale de la diagonalisabilité

Palier 1 · découverte

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$ sur un corps $K$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ . Laquelle des assertions suivantes équivaut à la diagonalisabilité de $u$ sur $K$ ?

Le polynôme minimal $\pi_u$ est scindé sur K à racines simples
Le polynôme caractéristique $\chi_u$ n'a que des racines simples
Le déterminant de u est non nul
La trace de u est égale à la somme des dimensions des sous-espaces propres

Un indice

Un endomorphisme peut être diagonalisable même si $\chi_u$ admet des racines multiples (ex: l'identité). En revanche, le lemme des noyaux appliqué à $\pi_u$ donne une CNS.

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Bonne réponse : A. Le polynôme minimal $\pi_u$ est scindé sur K à racines simples

D'après le lemme des noyaux, si $\pi_u(X) = \prod_{i=1}^k (X - \lambda_i)$ avec les $\lambda_i$ distincts deux à deux, alors $\ker(\pi_u(u)) = E = \bigoplus_{i=1}^k \ker(u - \lambda_i \mathrm{Id})$ , ce qui montre que $E$ est somme directe de ses sous-espaces propres, donc $u$ est diagonalisable. Réciproquement, si $u$ est diagonalisable, $\prod (X - \lambda_i)$ annule $u$ et est donc le polynôme minimal.

Exercice 2 Polynôme annulateur et critère de diagonalisation

Palier 2 · application

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A \ne I_3$ , $A \ne -2I_3$ et vérifiant $A^3 - 3A + 2I_3 = 0$ . Sachant que $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ , quelle condition nécessaire et suffisante garantit que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ?

Son polynôme minimal est $\pi_A(X) = (X - 1)(X + 2)$ , c'est-à-dire $(A - I_3)(A + 2I_3) = 0$
Son déterminant est strictement positif
Sa trace est égale à 0
A est nécessairement toujours diagonalisable sans condition supplémentaire

Un indice

Pour être diagonalisable, le polynôme minimal de $A$ doit être scindé à racines simples. Il divise $(X-1)^2(X+2)$ .

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Bonne réponse : A. Son polynôme minimal est $\pi_A(X) = (X - 1)(X + 2)$ , c'est-à-dire $(A - I_3)(A + 2I_3) = 0$

Le polynôme $P(X) = (X - 1)^2(X + 2)$ annule $A$ . Le polynôme minimal $\pi_A$ divise $P(X)$ . Pour que $A$ soit diagonalisable, $\pi_A$ doit être scindé à racines simples. Les diviseurs à racines simples contenant à la fois 1 et -2 (car $A \ne I_3$ et $A \ne -2I_3$ ) sont $(X-1)(X+2)$ . Donc $A$ est diagonalisable ssi $(A - I_3)(A + 2I_3) = 0$ .

Exercice 3 Décomposition de Dunford et calcul de l'exponentielle

Palier 3 · approfondissement

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ . On pose $D = 2I_2$ et $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Quelle est l'expression exacte de l'exponentielle $\exp(tA)$ pour $t \in \mathbb{R}$ ?

$\exp(tA) = e^{2t} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\exp(tA) = e^{2t} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\exp(tA) = \begin{pmatrix} e^{2t} & e^t \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix}$
$\exp(tA) = e^{2t} \begin{pmatrix} 1 & t^2/2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Un indice

Comme $D$ et $N$ commutent ( $DN = ND$ ), on a $\exp(tA) = \exp(tD)\exp(tN)$ . De plus, $N^2 = 0$ donc $\exp(tN) = I_2 + tN$ .

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Bonne réponse : A. $\exp(tA) = e^{2t} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

La décomposition de Dunford de $tA$ est $tA = tD + tN$ avec $D$ diagonalisable et $N$ nilpotente ( $N^2 = 0$ ). Comme $D = 2I_2$ commute avec toute matrice, $\exp(tA) = \exp(tD)\exp(tN) = (e^{2t}I_2)(I_2 + tN + \frac{t^2}{2}N^2 + \dots) = e^{2t}(I_2 + tN) = e^{2t} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Exercice 4 Endomorphismes cycliques et égalité des polynômes

Palier 4 · défi

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur $K$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ . On dit que $u$ est cyclique s'il existe $x_0 \in E$ tel que $(x_0, u(x_0), \dots, u^{n-1}(x_0))$ soit une base de $E$ . Laquelle des propriétés suivantes est équivalente à la cyclicité de $u$ ?

Le degré du polynôme minimal est égal à la dimension de l'espace : $\deg(\pi_u) = \deg(\chi_u) = n$ , soit $\pi_u = (-1)^n \chi_u$
Toutes les valeurs propres de u sont nulles
u est diagonalisable
La dimension de chaque sous-espace propre est supérieure ou égale à 2

Un indice

Si la famille $(u^k(x_0))_{0 \le k \le n-1}$ est libre, aucun polynôme non nul de degré $< n$ ne peut annuler $x_0$ .

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Bonne réponse : A. Le degré du polynôme minimal est égal à la dimension de l'espace : $\deg(\pi_u) = \deg(\chi_u) = n$ , soit $\pi_u = (-1)^n \chi_u$

Si $u$ est cyclique avec vecteur générateur $x_0$ , alors pour tout polynôme $P$ non nul de degré $\le n-1$ , $P(u)(x_0) \ne 0$ , donc $\deg(\pi_u) \ge n$ . Comme $\pi_u \mid \chi_u$ et $\deg(\chi_u) = n$ , on en déduit $\deg(\pi_u) = n$ . Réciproquement, d'après le théorème des facteurs invariants de Frobenius, $\deg(\pi_u) = n$ implique que $u$ n'a qu'un seul facteur invariant, ce qui équivaut à la cyclicité.