Séries de Fourier — leçon d'oral du CAPES

Prérequis

Situation dans les programmes : fonctions trigonométriques, parité et périodicité (première et terminale), calcul intégral et intégration par parties (terminale spécialité) ; en physique-chimie, décomposition d'un signal périodique en harmoniques et notion de spectre.
Espaces préhilbertiens complexes, familles orthonormées, inégalité de Bessel et projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
Intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment, continuité uniforme sur un segment.
Suites et séries de fonctions : convergence simple, uniforme et normale, intégration terme à terme en cas de convergence uniforme.

Proposition de plan en trois parties

I. Coefficients de Fourier et système trigonométrique

On note $\mathcal{D}$ l'espace des fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ , $2\pi$ -périodiques et continues par morceaux, muni de $\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g(t)}\,dt$ . La famille $(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ , $e_n(t) = e^{int}$ , est orthonormée. Coefficients $c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}\,dt = \langle f, e_n \rangle$ , et pour $n \ge 0$ , $a_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt$ , $b_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt$ , avec $c_0 = \frac{a_0}{2}$ et $c_{\pm n} = \frac{a_n \mp ib_n}{2}$ pour $n \ge 1$ . Sommes partielles $S_N(f) = \sum_{|n| \le N}c_n(f)e_n$ . Propriétés : si $f$ est paire, $b_n = 0$ ; si $f$ est continue et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, $c_n(f') = in\,c_n(f)$ ; lemme de Riemann-Lebesgue $c_n(f) \to 0$ .

II. Convergence ponctuelle et uniforme

Noyau de Dirichlet $D_N(t) = \sum_{|n| \le N}e^{int} = \frac{\sin\left((N + \frac{1}{2})t\right)}{\sin(t/2)}$ pour $t \notin 2\pi\mathbb{Z}$ , et $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x - t)D_N(t)\,dt$ . Théorème de Dirichlet : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, $S_N(f)(x)$ converge vers $\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ en tout réel $x$ . Théorème : si $f$ est continue et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, la série $\sum |c_n(f)|$ converge et la série de Fourier converge normalement vers $f$ . Exemple : la fonction créneau et le phénomène de Gibbs. Contre-exemple : il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en un point.

III. Convergence en moyenne quadratique et formule de Parseval

$S_N(f)$ est la projection orthogonale de $f$ sur l'espace $\mathcal{P}_N$ des polynômes trigonométriques de degré au plus $N$ ; inégalité de Bessel $\sum_{|n| \le N}|c_n(f)|^2 \le \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2$ . Théorème de Fejér : pour $f$ continue, les moyennes de Cesàro des $S_N(f)$ convergent uniformément vers $f$ ; densité des polynômes trigonométriques. Formule de Parseval, équivalente à $\|f - S_N(f)\|_2 \to 0$ . Applications : avec la fonction $2\pi$ -périodique égale à $x^2$ sur $[-\pi ; \pi]$ , $\sum_{n \ge 1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ et $\sum_{n \ge 1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ ; injectivité de $f \mapsto (c_n(f))_n$ sur les fonctions continues ; équation de la chaleur sur un cercle.

Théorème clé et démonstration

Formule de Parseval pour une fonction continue par morceaux

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction $2\pi$ -périodique et continue par morceaux. Alors $\|f - S_N(f)\|_2 \to 0$ quand $N \to +\infty$ , et $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^2\,dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n(f)|^2 = \frac{|a_0|^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(|a_n|^2 + |b_n|^2\right)$ , où $\|g\|_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|g|^2$ .

Démonstration

1. Projection orthogonale. La forme $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est sesquilinéaire, hermitienne et positive (seulement semi-définie sur $\mathcal{D}$ , ce qui suffit pour Pythagore). Pour $|k| \le N$ , $\langle f - S_N(f), e_k \rangle = c_k(f) - c_k(f) = 0$ par orthonormalité des $e_n$ . Donc $f - S_N(f)$ est orthogonal à $\mathcal{P}_N$ , et $\|f\|_2^2 = \|S_N(f)\|_2^2 + \|f - S_N(f)\|_2^2$ avec $\|S_N(f)\|_2^2 = \sum_{|n| \le N}|c_n(f)|^2$ .
2. Meilleure approximation. Pour $P \in \mathcal{P}_N$ , $f - P = (f - S_N(f)) + (S_N(f) - P)$ est une somme de deux vecteurs orthogonaux, d'où $\|f - P\|_2 \ge \|f - S_N(f)\|_2$ . En particulier, $N \mapsto \|f - S_N(f)\|_2$ est décroissante, puisque $\mathcal{P}_N \subset \mathcal{P}_{N+1}$ .
3. Théorème de Fejér pour $g$ continue. Soit $\sigma_N(g) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}S_k(g) \in \mathcal{P}_{N-1}$ . On a $\sigma_N(g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x - t)K_N(t)\,dt$ avec $K_N(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2$ . Ce noyau est positif, d'intégrale $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}K_N = 1$ , et $K_N(t) \le \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)}$ pour $\delta \le |t| \le \pi$ . Soit $\varepsilon > 0$ ; par continuité uniforme de $g$ , il existe $\delta$ tel que $|t| \lt \delta$ implique $|g(x - t) - g(x)| \le \varepsilon$ pour tout $x$ . Alors $|\sigma_N(g)(x) - g(x)| \le \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|g(x - t) - g(x)|K_N(t)\,dt \le \varepsilon + \frac{2\|g\|_\infty}{N\sin^2(\delta/2)}$ , quantité inférieure à $2\varepsilon$ pour $N$ assez grand, uniformément en $x$ .
4. Approximation de $f$ par une fonction continue. La fonction $f$ est bornée par un réel $M$ et n'a qu'un nombre fini $p$ de discontinuités par période. En remplaçant $f$ par une fonction affine sur un intervalle de longueur $\eta$ autour de chacune d'elles, on obtient $g$ continue, $2\pi$ -périodique, avec $|g| \le M$ et $g = f$ hors d'une réunion d'intervalles de longueur totale $p\eta$ par période. Donc $\|f - g\|_2^2 \le \frac{p\eta(2M)^2}{2\pi}$ , qui est inférieur à $\varepsilon^2$ pour $\eta$ assez petit.
5. Conclusion. Pour $N$ assez grand, $\sigma_{N+1}(g) \in \mathcal{P}_N$ et, par l'étape 2, $\|f - S_N(f)\|_2 \le \|f - \sigma_{N+1}(g)\|_2 \le \|f - g\|_2 + \|g - \sigma_{N+1}(g)\|_\infty \le 3\varepsilon$ . Donc $\|f - S_N(f)\|_2 \to 0$ , et l'égalité de l'étape 1 donne $\sum_{n \in \mathbb{Z}}|c_n(f)|^2 = \|f\|_2^2$ .
6. Forme réelle. $|c_0|^2 = \frac{|a_0|^2}{4}$ et, pour $n \ge 1$ , $|c_n|^2 + |c_{-n}|^2 = \frac{|a_n - ib_n|^2 + |a_n + ib_n|^2}{4} = \frac{|a_n|^2 + |b_n|^2}{2}$ par l'identité du parallélogramme.

Développements possibles pour l’oral

Calcul de $\sum \frac{1}{n^2}$ et de $\sum \frac{1}{n^4}$ (niveau L2) : pour la fonction $2\pi$ -périodique égale à $x^2$ sur $[-\pi ; \pi]$ , $a_0 = \frac{2\pi^2}{3}$ et $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ ; la convergence normale au point $\pi$ donne $\frac{\pi^2}{6}$ et la formule de Parseval donne $\frac{\pi^4}{90}$ .
Théorème de Fejér (niveau L3) : calcul du noyau $K_N$ , positivité, concentration près de 0 et convergence uniforme des moyennes de Cesàro pour $f$ continue ; corollaires : densité des polynômes trigonométriques et unicité des coefficients de Fourier d'une fonction continue.
Inégalité isopérimétrique (niveau L3) : pour une courbe fermée de classe $\mathcal{C}^1$ , de longueur $L$ , délimitant un domaine d'aire $\mathcal{A}$ , on a $4\pi\mathcal{A} \le L^2$ , avec égalité pour le cercle ; preuve par la formule de Parseval appliquée à une paramétrisation par l'abscisse curviligne.
Équation de la chaleur sur un cercle (niveau L3) : recherche de solutions $u(x, t) = \sum_{n \in \mathbb{Z}}c_ne^{-n^2t}e^{inx}$ , justification de la régularité pour $t > 0$ et convergence vers la moyenne de la donnée initiale.

Remarques et questions du jury

Le phénomène de Gibbs : pour la fonction créneau, les sommes partielles dépassent la valeur de la fonction près d'une discontinuité d'environ 9 % de l'amplitude du saut, et ce dépassement ne tend pas vers 0. Il n'y a donc pas convergence uniforme, ce qui est cohérent avec le fait qu'une limite uniforme de fonctions continues est continue.
La continuité ne suffit pas pour la convergence ponctuelle : il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en un point. Les hypothèses du théorème de Dirichlet ne sont pas décoratives.
Sur les fonctions continues par morceaux, $\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\overline{g}$ n'est pas défini positif : une fonction nulle sauf en un point par période a une norme nulle. On travaille sur les fonctions continues ou l'on identifie les fonctions égales sauf en un nombre fini de points par période.
Vérifiez les conventions : avec $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f$ , le terme constant de la série est $\frac{a_0}{2}$ et Parseval fait intervenir $\frac{|a_0|^2}{4}$ , non $|a_0|^2$ .
Lien avec le lycée : savoir montrer à un élève de terminale que $\int_0^{2\pi}\cos(nt)\cos(mt)\,dt = 0$ pour des entiers naturels $n \neq m$ , et relier les coefficients aux harmoniques d'un son étudiés en physique.

Exercices corrigés

Exercice 1 Théorème de Dirichlet et valeur de la série de Fourier

Palier 1 · découverte

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction $2\pi$ -périodique et $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$ . Que vaut la somme de sa série de Fourier $S(f)(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))$ en un point de discontinuité $x_0$ ?

$\frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$ (la demi-somme des limites à droite et à gauche)
$f(x_0)$
0
La série de Fourier diverge en $x_0$

Un indice

Le théorème de Dirichlet fait intervenir les limites à droite et à gauche $f(x_0^+)$ et $f(x_0^-)$ . En un point de continuité, elles valent toutes deux $f(x_0)$ ; en un point de saut, quelle valeur symétrique la série peut-elle prendre ? (Pense à l'onde créneau impaire en $x_0 = 0$ .)

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Bonne réponse : A. $\frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$ (la demi-somme des limites à droite et à gauche)

D'après le théorème de Dirichlet, pour toute fonction $f$ $2\pi$ -périodique et $\mathcal{C}^1$ par morceaux, en tout point $x \in \mathbb{R}$ , la série de Fourier converge et sa somme vaut la régularisée de $f$ , c'est-à-dire $\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ . Si $f$ est continue en $x_0$ , cette valeur coïncide avec $f(x_0)$ .

Exercice 2 Coefficients de Fourier d'une onde créneau

Palier 2 · application

Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique, impaire, définie sur $]0, \pi[$ par $f(x) = 1$ et $f(0) = f(\pi) = 0$ . Quels sont ses coefficients de Fourier réels $b_n$ pour $n \ge 1$ ?

$b_n = \frac{4}{\pi n}$ si n est impair, et $b_n = 0$ si n est pair
$b_n = \frac{2}{\pi n}$ pour tout n
$b_n = \frac{(-1)^n}{\pi n^2}$
$b_n = 0$ pour tout n

Un indice

Comme $f$ est impaire, $a_n = 0$ et $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin(nt)\,dt = \frac{2}{\pi n}[-\cos(nt)]_0^\pi$ .

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Bonne réponse : A. $b_n = \frac{4}{\pi n}$ si n est impair, et $b_n = 0$ si n est pair

Par imparité de $f$ , $a_n = 0$ pour tout $n$ . Pour $b_n$ : $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi 1 \cdot \sin(nt)\,dt = \frac{2}{\pi n} (1 - \cos(n\pi)) = \frac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n}$ . Si $n = 2k$ est pair, $1 - (-1)^{2k} = 0$ , d'où $b_{2k} = 0$ . Si $n = 2k+1$ est impair, $1 - (-1)^{2k+1} = 2$ , d'où $b_{2k+1} = \frac{4}{\pi(2k+1)}$ .

Exercice 3 Calcul de la somme de Bâle via le développement de x²

Palier 3 · approfondissement

Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique paire définie sur $[-\pi, \pi]$ par $f(x) = x^2$ . Sachant que son développement en série de Fourier est $f(x) = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$ , que donne l'évaluation en $x = \pi$ pour la somme $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ ?

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{8}$
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = 1$

Un indice

Comme $f$ est continue et $\mathcal{C}^1$ par morceaux, $S(f)(\pi) = f(\pi) = \pi^2$ . Noter que $\cos(n\pi) = (-1)^n$ .

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Bonne réponse : A. $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ par morceaux. D'après le théorème de Dirichlet, $f(\pi) = \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n (-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ . On en déduit : $4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}$ , d'où $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ .

Exercice 4 Phénomène de Gibbs et absence de convergence uniforme

Palier 4 · défi

Lors de l'approximation d'une fonction présentant une discontinuité de première espèce par ses sommes partielles de Fourier $S_N(f)$ , quel est le comportement de l'oscillation maximale au voisinage du saut quand $N \to +\infty$ ?

Les sommes partielles dépassent le palier d'environ $8{,}95\,\%$ du saut : le dépassement persiste et ne tend pas vers 0 (défaut de convergence uniforme)
L'oscillation tend vers 0 uniformément dès que $N \ge 50$
Le dépassement tend vers $+\infty$ comme $\ln(N)$
La série converge toujours normalement, donc il n'y a aucun dépassement

Un indice

Près du saut, le maximum de $S_N(f)$ tend vers $\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\,dt \approx 1{,}179$ fois le demi-saut : traduis ce dépassement en pourcentage du saut total, et demande-toi s'il dépend de $N$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. Les sommes partielles dépassent le palier d'environ $8{,}95\,\%$ du saut : le dépassement persiste et ne tend pas vers 0 (défaut de convergence uniforme)

Le phénomène de Gibbs montre que pour une fonction discontinue de première espèce (comme le créneau), les sommes partielles de Fourier oscillent au voisinage de la discontinuité avec un dépassement asymptotique constant égal à $\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}\,dt - \frac{1}{2} \approx 0{,}08949$ , soit environ $8{,}95\,\%$ de la hauteur du saut. Cela illustre rigoureusement l'absence de convergence uniforme sur tout intervalle contenant une discontinuité.