Équations différentielles linéaires

Prérequis

Situation dans les programmes : en première, l'exponentielle est définie comme l'unique fonction dérivable égale à sa dérivée et valant 1 en 0 ; en terminale spécialité, résolution de $y' = ay$ , $y' = ay + b$ et $y' = ay + f$ (une solution particulière étant fournie), avec des modélisations issues de la physique ou de la biologie.
Dérivation et primitives : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (théorème des accroissements finis).
Algèbre linéaire : espaces vectoriels de fonctions, applications linéaires, noyau, sous-espaces affines, dimension.
Exponentielle réelle et complexe, nombres complexes et racines d'un trinôme à discriminant négatif.

Proposition de plan en trois parties

I. Équations scalaires linéaires du premier ordre

Sur un intervalle $I$ , avec $a, b$ continues, on étudie $(E) : y' + a(t)y = b(t)$ et l'équation homogène associée $(E_H)$ . Théorème : les solutions de $(E_H)$ sont les fonctions $t \mapsto Ce^{-A(t)}$ , où $A$ est une primitive de $a$ , et celles de $(E)$ forment une droite affine dirigée par cette droite vectorielle. Méthode de variation de la constante : on cherche $y = C(t)e^{-A(t)}$ , ce qui impose $C' = be^{A}$ . Théorème de Cauchy linéaire : pour tout $(t_0, y_0) \in I \times \mathbb{R}$ , il existe une unique solution vérifiant $y(t_0) = y_0$ , définie sur tout $I$ . Exemple : les solutions de $y' + 2ty = t$ sont les fonctions $t \mapsto \frac{1}{2} + Ce^{-t^2}$ . Applications : décroissance radioactive, loi de refroidissement de Newton, charge d'un condensateur. Équations $\alpha(t)y' + \beta(t)y = \gamma(t)$ où $\alpha$ s'annule : résolution par intervalles puis raccordement.

II. Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation $(E) : ay'' + by' + cy = f(t)$ avec $a, b, c$ réels, $a \neq 0$ et $f$ continue. Les solutions homogènes forment un plan vectoriel, l'application $y \mapsto (y(t_0), y'(t_0))$ étant un isomorphisme. Équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta$ : si $\Delta > 0$ , base $(e^{r_1t}, e^{r_2t})$ ; si $\Delta = 0$ , base $(e^{rt}, te^{rt})$ ; si $\Delta \lt 0$ et $r = \alpha \pm i\beta$ , base $(e^{\alpha t}\cos(\beta t), e^{\alpha t}\sin(\beta t))$ . Second membre $P(t)e^{mt}$ : il existe une solution particulière $Q(t)e^{mt}$ avec $\deg Q = \deg P + k$ , où $k$ est la multiplicité de $m$ comme racine caractéristique (résonance si $k \ge 1$ ). Principe de superposition. Exemple : $y'' + y = \cos t$ admet la solution particulière $t \mapsto \frac{t}{2}\sin t$ .

III. Systèmes différentiels linéaires et modélisation

Système $Y' = AY + B(t)$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Exponentielle de matrice $e^{tA} = \sum_{k \ge 0}\frac{t^kA^k}{k!}$ , dérivable de dérivée $Ae^{tA}$ ; les solutions de $Y' = AY$ sont les $t \mapsto e^{tA}Y_0$ . Calcul pratique par diagonalisation ou trigonalisation de $A$ . Une équation scalaire d'ordre 2 se ramène à un système d'ordre 1 en posant $Y = (y, y')$ . Modélisations : oscillateur amorti $x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2x = 0$ avec ses régimes apériodique, critique et pseudo-périodique ; circuit RLC ; modèle proies-prédateurs linéarisé au voisinage d'un équilibre.

Théorème clé et démonstration

Structure de l'ensemble des solutions d'une équation linéaire du premier ordre

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ , $a, b$ continues sur $I$ à valeurs réelles, et $A$ une primitive de $a$ sur $I$ . (i) L'ensemble $\mathcal{S}_H$ des solutions de $(E_H) : y' + a(t)y = 0$ est la droite vectorielle $\{t \mapsto Ce^{-A(t)}, C \in \mathbb{R}\}$ . (ii) L'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de $(E) : y' + a(t)y = b(t)$ est non vide, et pour toute solution $y_p$ , $\mathcal{S} = y_p + \mathcal{S}_H$ . (iii) Pour tout $(t_0, y_0) \in I \times \mathbb{R}$ , il existe une unique solution de $(E)$ telle que $y(t_0) = y_0$ .

Démonstration

1. Existence de $A$ . La fonction $a$ est continue sur l'intervalle $I$ , donc admet une primitive $A$ (théorème fondamental de l'analyse).
2. Équation homogène. Soit $y$ dérivable sur $I$ et $z = ye^{A}$ . Alors $z' = (y' + ay)e^{A}$ . Donc $y \in \mathcal{S}_H$ si et seulement si $z' = 0$ sur $I$ , si et seulement si $z$ est constante, car $I$ est un intervalle (accroissements finis). Ainsi $y \in \mathcal{S}_H \iff y = Ce^{-A}$ pour une constante $C$ . Comme $e^{-A}$ ne s'annule pas, $\mathcal{S}_H$ est une droite vectorielle.
3. Solution particulière (variation de la constante). On cherche $y = Ce^{-A}$ avec $C$ dérivable : $y' + ay = C'e^{-A}$ , donc $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $C' = be^{A}$ . La fonction $be^{A}$ est continue, $C(t) = \int_{t_0}^{t}b(s)e^{A(s)}\,ds$ convient : $\mathcal{S} \neq \emptyset$ .
4. Structure affine. Soit $y_p \in \mathcal{S}$ . Par linéarité, $(y - y_p)' + a(y - y_p) = b - b = 0$ pour tout $y \in \mathcal{S}$ , et réciproquement $y_p + h \in \mathcal{S}$ pour tout $h \in \mathcal{S}_H$ . Donc $\mathcal{S} = y_p + \mathcal{S}_H$ .
5. Problème de Cauchy. Les solutions sont les $y = y_p + Ce^{-A}$ , et $y(t_0) = y_0$ équivaut à $C = (y_0 - y_p(t_0))e^{A(t_0)}$ : il existe une unique valeur de $C$ , donc une unique solution, définie sur tout $I$ .

Développements possibles pour l’oral

Oscillateur harmonique amorti (niveau L1, lien avec la physique de terminale) : résolution de $x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2x = 0$ avec $\lambda > 0$ selon le signe de $\lambda^2 - \omega_0^2$ , preuve que toute solution tend vers 0, et vérification que le régime critique $\lambda = \omega_0$ maximise le taux de décroissance exponentielle.
Exponentielle d'une matrice $2 \times 2$ (niveau L2) : par le théorème de Cayley-Hamilton, $A^2 = (\mathrm{tr}A)A - (\det A)I_2$ , donc $e^{tA} = \alpha(t)I_2 + \beta(t)A$ ; on détermine $\alpha$ et $\beta$ à l'aide des valeurs propres, puis on résout le système $Y' = AY$ .
Variation des constantes à l'ordre 2 (niveau L2) : recherche de $y = \lambda(t)y_1 + \mu(t)y_2$ sous la condition $\lambda'y_1 + \mu'y_2 = 0$ , rôle du wronskien qui ne s'annule pas, et exemple de $y'' + y = \frac{1}{\cos t}$ sur $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ .
Équation $y' = ay + b$ en terminale (niveau lycée) : unicité de la solution par l'étude de $t \mapsto (y(t) - y_\ast(t))e^{-at}$ , solution d'équilibre $-\frac{b}{a}$ et comportement en $+\infty$ selon le signe de $a$ , appliqués à la loi de refroidissement de Newton.

Remarques et questions du jury

Précisez toujours l'intervalle de résolution. Pour une équation $\alpha(t)y' + \beta(t)y = \gamma(t)$ où $\alpha$ s'annule, on résout sur chaque intervalle où $\alpha$ ne s'annule pas, puis on étudie le raccordement : pour $ty' - 2y = 0$ , les solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions égales à $Ct^2$ sur $[0 ; +\infty[$ et à $Dt^2$ sur $]-\infty ; 0]$ , ce qui forme un espace de dimension 2 et non 1.
L'argument « dérivée nulle implique constante » exige un intervalle : sur $\mathbb{R}^{\ast}$ , la fonction égale à 1 sur $]0 ; +\infty[$ et à $-1$ sur $]-\infty ; 0[$ a une dérivée nulle sans être constante.
L'existence globale des solutions est propre au cas linéaire : l'équation non linéaire $y' = y^2$ avec $y(0) = 1$ a pour solution maximale $t \mapsto \frac{1}{1-t}$ , définie sur $]-\infty ; 1[$ , qui explose en temps fini.
En cas de résonance, $y'' + \omega^2y = \cos(\omega t)$ n'admet pas de solution de la forme $A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ mais admet $t \mapsto \frac{t}{2\omega}\sin(\omega t)$ : sachez l'expliquer par le fait que $i\omega$ est racine caractéristique.
Le jury demande de situer la notion : en première, l'unicité de la fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0 se démontre en étudiant le quotient de deux telles fonctions, ce qui est le même argument que l'étape 2 de la preuve de structure.

Exercices corrigés

Exercice 1 Dimension de l'espace des solutions d'une EDO linéaire scalaire d'ordre n

Palier 1 · découverte

Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle et $(E) : y^{(n)} + a_{n-1}(t)y^{(n-1)} + \dots + a_0(t)y = 0$ une équation différentielle linéaire homogène d'ordre $n$ , où les coefficients $a_k$ sont continus sur $I$ . Quelle est la dimension de l'espace vectoriel $\mathcal{S}_H$ de ses solutions sur $I$ ?

$\dim(\mathcal{S}_H) = n$
$\dim(\mathcal{S}_H) = 1$
$\dim(\mathcal{S}_H) = n+1$
$\dim(\mathcal{S}_H) = +\infty$

Un indice

Penser au théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire et à l'application linéaire associant à une solution la donnée de ses dérivées en un point $t_0$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $\dim(\mathcal{S}_H) = n$

D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, pour tout $t_0 \in I$ , l'application d'évaluation initiale $\Phi : \mathcal{S}_H \to \mathbb{R}^n$ , $y \mapsto (y(t_0), y'(t_0), \dots, y^{(n-1)}(t_0))$ est un isomorphisme vectoriel. Par conséquent, $\dim(\mathcal{S}_H) = \dim(\mathbb{R}^n) = n$ .

Exercice 2 Wronskien de deux solutions et formule de Liouville

Palier 2 · application

Soient $y_1, y_2$ deux solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y'' + p(t)y' + q(t)y = 0$ , avec $p, q$ continues. On note $W(t) = y_1(t)y_2'(t) - y_1'(t)y_2(t)$ leur Wronskien. Quelle équation différentielle vérifie $W(t)$ ?

$W'(t) + p(t)W(t) = 0$ , d'où $W(t) = W(t_0) \exp\left(-\int_{t_0}^t p(s)\,ds\right)$
$W'(t) - q(t)W(t) = 0$
$W'(t) + q(t)W(t) = p(t)$
$W''(t) + p(t)W'(t) = 0$

Un indice

Dériver le déterminant Wronskien : $W'(t) = y_1 y_2'' - y_1'' y_2$ et substituer $y_i'' = -p y_i' - q y_i$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $W'(t) + p(t)W(t) = 0$ , d'où $W(t) = W(t_0) \exp\left(-\int_{t_0}^t p(s)\,ds\right)$

En dérivant : $W'(t) = y_1' y_2' + y_1 y_2'' - (y_1'' y_2 + y_1' y_2') = y_1 y_2'' - y_1'' y_2$ . En remplaçant $y_i'' = -p(t)y_i' - q(t)y_i$ , les termes en $q$ s'annulent et il reste $W'(t) = -p(t)(y_1 y_2' - y_1' y_2) = -p(t)W(t)$ . C'est la formule de Liouville-Ostrogradski : $W(t) = W(t_0)\exp(-\int_{t_0}^t p(s)\,ds)$ . En particulier, $W$ ne s'annule jamais ou est identiquement nul.

Exercice 3 Phénomène de résonance pour un oscillateur forcé non amorti

Palier 3 · approfondissement

On considère l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique forcé non amorti : $y'' + 9y = 6\cos(3t)$ . Quelle est la forme d'une solution particulière $y_p(t)$ sur $\mathbb{R}$ ?

$y_p(t) = t \sin(3t)$
$y_p(t) = \frac{2}{3} \cos(3t)$
$y_p(t) = e^{3t} \sin(3t)$
$y_p(t) = 6t \cos(3t)$

Un indice

L'équation caractéristique est $r^2 + 9 = 0 \implies r = \pm 3i$ . Comme le second membre a pour pulsation $\omega = 3$ , il y a résonance, la solution particulière est de la forme $t(A\cos(3t) + B\sin(3t))$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $y_p(t) = t \sin(3t)$

L'équation homogène a pour solutions $y_H(t) = A\cos(3t) + B\sin(3t)$ . La pulsation d'excitation est $\omega = 3$ , qui est précisément la pulsation propre. Comme $3i$ est racine simple du polynôme caractéristique $P(r) = r^2+9$ , on cherche une solution complexe de $z'' + 9z = 6e^{3it}$ sous la forme $z(t) = C t e^{3it}$ . On a $P'(3i) = 2(3i) = 6i$ , donc $C = \frac{6}{P'(3i)} = \frac{6}{6i} = -i$ . Ainsi $z(t) = -i t e^{3it} = -i t (\cos(3t) + i\sin(3t)) = t\sin(3t) - it\cos(3t)$ . La partie réelle est $y_p(t) = t\sin(3t)$ . On vérifie bien $y_p'' + 9y_p = 6\cos(3t)$ .

Exercice 4 Stabilité asymptotique globale d'un système linéaire autonome

Palier 4 · défi

Soit le système différentiel $Y' = AY$ dans $\mathbb{R}^n$ , où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . À quelle condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres de $A$ l'origine $0$ est-elle un équilibre globalement asymptotiquement stable (c'est-à-dire $\lim_{t \to +\infty} Y(t) = 0$ pour toute condition initiale) ?

Toutes les valeurs propres de A (réelles ou complexes) ont une partie réelle strictement négative : $\forall \lambda \in \mathrm{Sp}(A),\; \mathrm{Re}(\lambda) < 0$
Toutes les valeurs propres de A sont réelles et négatives ou nulles
Le déterminant de A est strictement négatif
La trace de A est strictement négative

Un indice

Penser à la décomposition de Dunford ou à la réduction de Jordan : les composantes de $\exp(tA)$ font intervenir des termes de la forme $t^k e^{\lambda t}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. Toutes les valeurs propres de A (réelles ou complexes) ont une partie réelle strictement négative : $\forall \lambda \in \mathrm{Sp}(A),\; \mathrm{Re}(\lambda) < 0$

Par décomposition de Jordan ou Dunford de $A$ , les coefficients de la matrice résolvante $\exp(tA)$ sont des combinaisons linéaires de fonctions de la forme $t^k e^{\lambda t} = t^k e^{\mathrm{Re}(\lambda)t} e^{i \mathrm{Im}(\lambda)t}$ où $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ et $0 \le k \le n-1$ . Ces termes tendent vers 0 quand $t \to +\infty$ si et seulement si $\mathrm{Re}(\lambda) < 0$ pour toute valeur propre $\lambda$ . Le système est donc asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont de partie réelle strictement négative. Le critère de Routh-Hurwitz permet ensuite de vérifier cette condition sur les seuls coefficients du polynôme caractéristique, sans calculer les valeurs propres.