Cours et exercices corrigés de L1 : Corps des nombres réels, propriété de la borne supérieure et topologie de R

1. Ordre, valeur absolue et intervalles

• $(\mathbb{R}, +, \times, \le)$ est un corps totalement ordonné : $x \le y \implies x + z \le y + z$, et $x \le y$, $z \ge 0 \implies xz \le yz$.
• Valeur absolue : $|x| = \max(x, -x)$, $|xy| = |x|\,|y|$ et, pour $r \ge 0$, $|x - a| \le r \iff a - r \le x \le a + r$.
• Inégalités triangulaires : $|x + y| \le |x| + |y|$ et $\big||x| - |y|\big| \le |x - y|$.
• Intervalles : une partie $I$ est un intervalle si $\forall x, y \in I,\ x \le z \le y \implies z \in I$. Ce sont les ensembles $[a ; b]$, $]a ; b[$, $[a ; b[$, $]a ; +\infty[$, etc.

2. Borne supérieure, borne inférieure

Soit $A \subset \mathbb{R}$ non vide.

• Axiome de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure $\sup A$, plus petit des majorants. De même, toute partie non vide minorée admet une borne inférieure $\inf A$.
• Caractérisation : $M = \sup A$ si et seulement si

1. $\forall x \in A,\ x \le M$ ;
2. $\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in A,\ M - \varepsilon < x$.

• Version séquentielle : $M = \sup A$ si et seulement si $M$ majore $A$ et il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $M$.
• Maximum : $A$ a un plus grand élément si et seulement si $\sup A$ existe et appartient à $A$. Exemple : $\sup\, [0 ; 1[ = 1$ mais $[0 ; 1[$ n'a pas de maximum.

3. Irrationalité de √2 et insuffisance de Q

Théorème : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Démonstration.
1. Supposons $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{N}$, $q \in \mathbb{N}^{\ast}$ et la fraction irréductible. Alors $p^2 = 2q^2$, donc $p^2$ est pair.
2. Le carré d'un entier impair $2k + 1$ vaut $4k^2 + 4k + 1$, impair ; donc $p$ est pair : $p = 2m$.
3. Alors $4m^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2m^2$ : $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
4. $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Conséquence : $A = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge 0,\ x^2 < 2\}$ est une partie non vide et majorée de $\mathbb{Q}$ sans borne supérieure dans $\mathbb{Q}$ (sa borne supérieure dans $\mathbb{R}$ est $\sqrt{2}$). L'axiome de la borne supérieure est exactement ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$.

4. Propriété d'Archimède et partie entière

Théorème (Archimède) : $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ n > x$. Plus généralement, pour $a > 0$ et $x \in \mathbb{R}$, il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $na > x$.
Démonstration. Sinon, $\mathbb{N}$ serait non vide et majoré par $x$ ; soit $s = \sup \mathbb{N}$. Comme $s - 1$ ne majore pas $\mathbb{N}$, il existe $n \in \mathbb{N}$ avec $n > s - 1$, d'où $n + 1 > s$ avec $n + 1 \in \mathbb{N}$ : contradiction.

Partie entière : pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe un unique $n \in \mathbb{Z}$ tel que $n \le x < n + 1$ ; on le note $\lfloor x \rfloor$.
Démonstration.
1. Unicité : si $n \le x < n + 1$ et $m \le x < m + 1$, alors $-1 < n - m < 1$ et $n - m \in \mathbb{Z}$, donc $n = m$.
2. Existence : $A = \{k \in \mathbb{Z} \mid k \le x\}$ est non vide (par Archimède, il existe $k \in \mathbb{N}$ avec $k > -x$, et alors $-k \in A$) et majorée par $x$. Une partie non vide et majorée de $\mathbb{Z}$ admet un plus grand élément $n$ ; on a $n \le x$ et $n + 1 \notin A$, c'est-à-dire $x < n + 1$.

Exemples : $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$, $\lfloor -2{,}5 \rfloor = -3$. Approximations décimales : $d_n = \frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}$ vérifie $d_n \le x < d_n + 10^{-n}$.

5. Densité de Q et des irrationnels

Une partie $D \subset \mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ si tout intervalle $]a ; b[$ avec $a < b$ contient un élément de $D$.
Théorème : $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont denses dans $\mathbb{R}$.
Démonstration.
1. Soient $a < b$. Par Archimède, il existe $q \in \mathbb{N}^{\ast}$ tel que $q(b - a) > 1$.
2. Posons $p = \lfloor qa \rfloor + 1 \in \mathbb{Z}$. Par définition de la partie entière, $qa < p \le qa + 1$.
3. Comme $qa + 1 < qb$, on obtient $qa < p < qb$, soit $a < \frac{p}{q} < b$ : $]a ; b[$ contient un rationnel.
4. Pour les irrationnels : on applique ce qui précède à $]a - \sqrt{2} ; b - \sqrt{2}[$, qui contient un rationnel $r$. Alors $r + \sqrt{2} \in\, ]a ; b[$, et $r + \sqrt{2}$ est irrationnel (sinon $\sqrt{2} = (r + \sqrt{2}) - r$ serait rationnel).

Corollaire : tout réel est limite d'une suite de rationnels (par exemple ses approximations décimales $d_n$) et d'une suite d'irrationnels.

6. Premières notions de topologie de R

• Voisinage de $a$ : partie contenant un intervalle $]a - r ; a + r[$ avec $r > 0$.
• Ouvert : $U$ est ouvert si $\forall x \in U,\ \exists r > 0,\ ]x - r ; x + r[\, \subset U$. Exemples : $]a ; b[$, $\mathbb{R}$, $\emptyset$, toute réunion d'ouverts.
• Fermé : $F$ est fermé si $\mathbb{R} \setminus F$ est ouvert. Exemples : $[a ; b]$, $\mathbb{Z}$, toute intersection de fermés. $[0 ; 1[$ n'est ni ouvert ni fermé.
• Caractérisation séquentielle : $F$ est fermé si et seulement si la limite de toute suite convergente d'éléments de $F$ appartient à $F$.
• Un segment $[a ; b]$ est fermé et borné ; de toute suite à valeurs dans $[a ; b]$ on peut extraire une suite convergeant dans $[a ; b]$ (théorème de Bolzano-Weierstrass, chapitre L1-SUI).