Cours et exercices corrigés de L1 : Continuité et dérivation sur R, Théorème de Rolle et TAF

1. Limites et caractérisation séquentielle

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $x_0$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$.

• $f(x) \to \ell$ quand $x \to x_0$ si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I,\ |x - x_0| \le \delta \implies |f(x) - \ell| \le \varepsilon$. La limite, si elle existe, est unique.
• Caractérisation séquentielle : $f(x) \to \ell$ en $x_0$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de $I$ tendant vers $x_0$, $f(x_n) \to \ell$.
• Usage : pour montrer qu'une limite n'existe pas, on exhibe deux suites tendant vers $x_0$ dont les images ont des limites différentes.
• Opérations : somme, produit, quotient (limite du dénominateur non nulle), composition ; théorème d'encadrement ; limite monotone (une fonction croissante sur $]a ; b[$ a une limite à gauche en $b$, finie si elle est majorée).

2. Continuité

• $f$ est continue en $x_0 \in I$ si $f(x) \to f(x_0)$ quand $x \to x_0$, soit : $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I,\ |x - x_0| \le \delta \implies |f(x) - f(x_0)| \le \varepsilon$.
• De façon équivalente : pour toute suite $x_n \to x_0$ dans $I$, $f(x_n) \to f(x_0)$.
• Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues ; les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine.
• Prolongement par continuité : si $f$ est définie sur $I \setminus \{x_0\}$ et a une limite finie $\ell$ en $x_0$, on la prolonge en posant $f(x_0) = \ell$. Exemple : $\frac{\sin x}{x}$ se prolonge par $1$ en $0$.
• Exemple : $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ et discontinue en tout entier.

3. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème : si $f$ est continue sur $[a ; b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a ; b]$ tel que $f(c) = k$.
Démonstration. Quitte à remplacer $f$ par $-f$, supposons $f(a) \le k \le f(b)$.
1. $A = \{x \in [a ; b] \mid f(x) \le k\}$ contient $a$ et est majoré par $b$ : soit $c = \sup A \in [a ; b]$.
2. Il existe une suite $(x_n)$ de $A$ tendant vers $c$ ; comme $f(x_n) \le k$, la continuité donne $f(c) \le k$.
3. Si $c = b$, alors $k \le f(b) = f(c)$. Si $c < b$, tout $x \in\, ]c ; b]$ est hors de $A$, donc $f(x) > k$ ; en faisant tendre $x$ vers $c$ par la droite, $f(c) \ge k$.
4. Dans les deux cas, $f(c) = k$.

Conséquences : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Théorème de la bijection : si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$, et $f^{-1}$ est continue, de même monotonie.

4. Fonctions continues sur un segment : bornes atteintes

Théorème : si $f$ est continue sur $[a ; b]$, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes ; avec le TVI, $f([a ; b]) = [m ; M]$ où $m = \min f$ et $M = \max f$.
Démonstration.
1. Bornée : sinon, pour tout $n$ il existe $x_n \in [a ; b]$ avec $|f(x_n)| > n$. Par Bolzano-Weierstrass, une suite extraite $x_{\varphi(n)}$ converge vers $c$, et $c \in [a ; b]$ car le segment est fermé. Par continuité, $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$, alors que $|f(x_{\varphi(n)})| > \varphi(n) \ge n$ : contradiction.
2. Borne atteinte : soit $M = \sup_{[a ; b]} f$. Pour tout $n \ge 1$, il existe $x_n$ avec $M - \frac{1}{n} < f(x_n) \le M$. On extrait $x_{\varphi(n)} \to c \in [a ; b]$, et $f(c) = \lim f(x_{\varphi(n)}) = M$. Même raisonnement pour la borne inférieure.

Hypothèses indispensables : $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]0 ; 1]$ mais non bornée ; $x \mapsto x$ sur $[0 ; 1[$ est bornée mais n'atteint pas sa borne supérieure.

5. Continuité uniforme et théorème de Heine

• $f$ est uniformément continue sur $I$ si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I,\ |x - y| \le \delta \implies |f(x) - f(y)| \le \varepsilon$ ($\delta$ ne dépend pas du point).
• Une fonction $K$-lipschitzienne est uniformément continue (prendre $\delta = \varepsilon / K$ si $K > 0$).
• Contre-exemple : $x \mapsto x^2$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$ : avec $x_n = n + \frac{1}{n}$ et $y_n = n$, $|x_n - y_n| \to 0$ mais $x_n^2 - y_n^2 = 2 + \frac{1}{n^2} \ge 2$.

Théorème de Heine : toute fonction continue sur un segment $[a ; b]$ y est uniformément continue.
Démonstration.
1. Par l'absurde : il existe $\varepsilon > 0$ tel que, pour tout $n \ge 1$, il existe $x_n, y_n \in [a ; b]$ avec $|x_n - y_n| \le \frac{1}{n}$ et $|f(x_n) - f(y_n)| > \varepsilon$.
2. Par Bolzano-Weierstrass, une suite extraite $x_{\varphi(n)}$ converge vers $c \in [a ; b]$ ; comme $|x_{\varphi(n)} - y_{\varphi(n)}| \le \frac{1}{\varphi(n)} \to 0$, on a aussi $y_{\varphi(n)} \to c$.
3. Par continuité en $c$, $f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) \to f(c) - f(c) = 0$, ce qui contredit $|f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})| > \varepsilon$.

6. Dérivabilité

• $f$ est dérivable en $x_0$ si $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ a une limite finie $f'(x_0)$ quand $x \to x_0$ ; de façon équivalente, $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$. Dérivable implique continue.
• Opérations : $(fg)' = f'g + fg'$, $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$, $(g \circ f)' = (g' \circ f) \cdot f'$, et $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ si $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$.
• Extremum : en un extremum local intérieur où $f$ est dérivable, $f'$ s'annule (la réciproque est fausse : $x^3$ en $0$).
• Rolle : $f$ continue sur $[a ; b]$, dérivable sur $]a ; b[$, $f(a) = f(b)$ $\implies \exists c \in\, ]a ; b[,\ f'(c) = 0$.
• Accroissements finis : $f$ continue sur $[a ; b]$, dérivable sur $]a ; b[$ $\implies \exists c \in\, ]a ; b[,\ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ ; si $|f'| \le M$, alors $|f(b) - f(a)| \le M|b - a|$.