Cours et exercices corrigés de L1 : Suites réelles : limites (ε-N), suites de Cauchy et Bolzano-Weierstrass

1. Convergence : définition, unicité, caractère borné

• $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ |u_n - \ell| \le \varepsilon$.
• $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ u_n \ge A$.

Théorème : la limite d'une suite convergente est unique, et toute suite convergente est bornée.
Démonstration.
1. Unicité : supposons $u_n \to \ell$ et $u_n \to \ell'$ avec $\ell \neq \ell'$. Posons $\varepsilon = \frac{|\ell - \ell'|}{3} > 0$. Il existe $N_1$ et $N_2$ tels que $|u_n - \ell| \le \varepsilon$ pour $n \ge N_1$ et $|u_n - \ell'| \le \varepsilon$ pour $n \ge N_2$. Pour $n = \max(N_1, N_2)$ : $|\ell - \ell'| \le |\ell - u_n| + |u_n - \ell'| \le 2\varepsilon = \frac{2}{3}|\ell - \ell'|$, contradiction.
2. Bornée : avec $\varepsilon = 1$, il existe $N$ tel que $|u_n| \le |\ell| + 1$ pour $n \ge N$. Alors $|u_n| \le \max\big(|u_0|, \dots, |u_{N-1}|, |\ell| + 1\big)$ pour tout $n$.

2. Opérations, comparaison, encadrement

• Opérations : si $u_n \to \ell$ et $v_n \to \ell'$, alors $u_n + v_n \to \ell + \ell'$, $u_n v_n \to \ell\ell'$, et $\frac{u_n}{v_n} \to \frac{\ell}{\ell'}$ si $\ell' \neq 0$. Formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$.
• Passage à la limite : si $u_n \le v_n$ à partir d'un certain rang et si les deux suites convergent, alors $\lim u_n \le \lim v_n$ (inégalité large).
• Encadrement : si $v_n \le u_n \le w_n$ à partir d'un certain rang et $v_n \to \ell$, $w_n \to \ell$, alors $u_n \to \ell$.
• Minoration : si $u_n \ge v_n$ et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$.
• Exemple : $\left|\frac{\sin n}{n}\right| \le \frac{1}{n}$, donc $\frac{\sin n}{n} \to 0$.

3. Théorème de la limite monotone

Théorème : toute suite croissante et majorée converge vers $\sup\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ ; toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ (énoncés symétriques pour les suites décroissantes).
Démonstration.
1. L'ensemble $A = \{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ est non vide et majoré : il admet une borne supérieure $\ell$.
2. Soit $\varepsilon > 0$. Comme $\ell - \varepsilon$ ne majore pas $A$, il existe $N$ tel que $u_N > \ell - \varepsilon$.
3. Pour $n \ge N$, la croissance donne $\ell - \varepsilon < u_N \le u_n \le \ell$, donc $|u_n - \ell| < \varepsilon$. Ainsi $u_n \to \ell$.
4. Si la suite n'est pas majorée, pour tout $A$ il existe $N$ avec $u_N > A$, et alors $u_n \ge u_N > A$ pour $n \ge N$.

4. Suites adjacentes

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ décroissante et $v_n - u_n \to 0$.
Théorème : deux suites adjacentes convergent vers une même limite $\ell$, et $u_n \le \ell \le v_n$ pour tout $n$.
Démonstration.
1. $w_n = v_n - u_n$ vérifie $w_{n+1} - w_n = (v_{n+1} - v_n) - (u_{n+1} - u_n) \le 0$ : $(w_n)$ est décroissante et tend vers $0$, donc $w_n \ge 0$ pour tout $n$ (sinon, si $w_p < 0$, on aurait $w_n \le w_p < 0$ pour $n \ge p$, et la limite serait $\le w_p < 0$).
2. Ainsi $u_0 \le u_n \le v_n \le v_0$ : $(u_n)$ est croissante majorée par $v_0$, $(v_n)$ décroissante minorée par $u_0$ ; elles convergent vers $\ell$ et $\ell'$.
3. $\ell' - \ell = \lim w_n = 0$. Enfin $u_n \le \ell$ (suite croissante) et $\ell \le v_n$ (suite décroissante).

Exemple : $u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ($n \ge 1$) sont adjacentes, de limite $e$ ; on obtient l'encadrement $u_n \le e \le v_n$.

5. Suites extraites, Bolzano-Weierstrass, suites de Cauchy

• Une suite extraite de $(u_n)$ est $(u_{\varphi(n)})$ avec $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante. Si $u_n \to \ell$, toute suite extraite tend vers $\ell$. Si $u_{2n} \to \ell$ et $u_{2n+1} \to \ell$, alors $u_n \to \ell$.
• Application : $\big((-1)^n\big)$ diverge, car ses extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ tendent vers $1$ et $-1$.
• Théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente. La limite d'une suite extraite convergente est une valeur d'adhérence de $(u_n)$.
• Suite de Cauchy : $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall p, q \ge N,\ |u_p - u_q| \le \varepsilon$.
• Complétude de $\mathbb{R}$ : une suite réelle converge si et seulement si elle est de Cauchy (le sens « converge $\implies$ Cauchy » est immédiat ; la réciproque utilise Bolzano-Weierstrass).

6. Suites récurrentes u(n+1) = f(u(n))

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ avec $I$ un intervalle stable ($f(I) \subset I$) et $u_0 \in I$ ; la suite est alors bien définie.

• Limite possible : si $f$ est continue sur $I$ et si $u_n \to \ell \in I$, alors $f(\ell) = \ell$ ($\ell$ est un point fixe).
• $f$ croissante sur $I$ : $(u_n)$ est monotone, croissante si $u_1 \ge u_0$, décroissante si $u_1 \le u_0$ (récurrence : $u_n \le u_{n+1} \implies f(u_n) \le f(u_{n+1})$).
• $f$ décroissante sur $I$ : $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de sens contraires (car $f \circ f$ est croissante).
• $f$ contractante : si $|f(x) - f(y)| \le k|x - y|$ sur $I$ avec $0 \le k < 1$ et $f(\ell) = \ell$, alors $|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell|$, donc $u_n \to \ell$. C'est le cas si $|f'| \le k$ sur $I$ (inégalité des accroissements finis).

7. Relations de comparaison

Soit $(v_n)$ non nulle à partir d'un certain rang.

• $u_n = o(v_n)$ si $\frac{u_n}{v_n} \to 0$ ; $u_n = O(v_n)$ si $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée ; $u_n \sim v_n$ si $\frac{u_n}{v_n} \to 1$, ce qui équivaut à $u_n - v_n = o(v_n)$.
• Croissances comparées : pour $\alpha, \beta > 0$ et $q > 1$, $(\ln n)^\alpha = o(n^\beta)$, $n^\beta = o(q^n)$ et $q^n = o(n!)$.
• Règles : les équivalents se multiplient, se divisent et s'élèvent à une puissance fixe ; deux suites équivalentes ont la même limite (si elle existe) et le même signe à partir d'un certain rang.
• Exemple : $\frac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1} \sim \frac{n^2}{2n^2} = \frac{1}{2}$, donc la suite tend vers $\frac{1}{2}$.