Cours et exercices corrigés de L3 : Compacité, Connexité et Théorème de Heine

1. Compacité : Borel-Lebesgue et Bolzano-Weierstrass

• Borel-Lebesgue : un espace métrique $K$ est compact si de tout recouvrement de $K$ par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini.
• Bolzano-Weierstrass : dans un espace métrique, $K$ est compact si et seulement si toute suite d'éléments de $K$ admet une sous-suite convergente dans $K$.
• Propriétés :

1. Une partie compacte d'un espace métrique est fermée et bornée.
2. Une partie fermée d'un compact est compacte.
3. Un produit fini de compacts est compact (extractions successives).
4. Une suite d'un compact qui a une unique valeur d'adhérence converge.

• Exemples : $[a ; b]$ est compact ; $]0 ; 1]$ ne l'est pas (la suite $(1/n)$ n'a pas de valeur d'adhérence dans $]0 ; 1]$) ; $\{0\} \cup \{1/n \mid n \ge 1\}$ est compact.

2. Compacts en dimension finie et théorème de Riesz

• Compacts de $\mathbb{R}^n$ : une partie de $\mathbb{R}^n$ est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée (une suite bornée de $\mathbb{R}^n$ a une sous-suite convergente, par extractions coordonnée par coordonnée).
• Le résultat s'étend à tout espace normé de dimension finie, une fois l'équivalence des normes établie (point 5).
• Théorème de Riesz : un espace vectoriel normé est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.
• Conséquence : en dimension infinie, « fermé et borné » n'implique pas « compact ». Par exemple dans $\ell^2$, la suite $(e_n)$ de la base canonique est dans la boule unité mais $\|e_p - e_q\| = \sqrt{2}$ pour $p \neq q$ : aucune sous-suite n'est de Cauchy.

3. Fonctions continues sur un compact

• Image continue d'un compact : si $K$ est compact et $f : K \to F$ est continue, alors $f(K)$ est compact.
• Bornes atteintes : toute fonction continue $f : K \to \mathbb{R}$ sur un compact non vide est bornée et atteint ses bornes :

$$\exists \, a, b \in K, \quad f(a) = \min_K f \quad \text{et} \quad f(b) = \max_K f$$

• Théorème de Heine : toute application continue sur un compact $K$ est uniformément continue :

$$\forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0, \; \forall x, y \in K, \quad d(x, y) < \delta \implies d(f(x), f(y)) < \varepsilon$$

• Distance à un compact : si $K$ est compact non vide, pour tout $x$ il existe $y \in K$ tel que $d(x, K) = d(x, y)$ (la fonction $y \mapsto d(x, y)$ est continue sur $K$).

4. Démonstrations : image d'un compact et théorème de Heine

Théorème A. Si $K$ est un espace métrique compact et $f : K \to F$ continue, alors $f(K)$ est compact.

Démonstration (séquentielle).
1. Soit $(y_n)$ une suite de $f(K)$ ; écrivons $y_n = f(x_n)$ avec $x_n \in K$.
2. Par compacité de $K$, il existe une extraction $\varphi$ et $x \in K$ tels que $x_{\varphi(n)} \to x$.
3. Par continuité de $f$ en $x$, $y_{\varphi(n)} = f(x_{\varphi(n)}) \to f(x) \in f(K)$.
4. Toute suite de $f(K)$ a donc une sous-suite convergente dans $f(K)$ : $f(K)$ est compact. $\square$

Théorème B (Heine). Si $K$ est compact et $f : K \to F$ continue, $f$ est uniformément continue.

Démonstration (par l'absurde).
1. Supposons $f$ non uniformément continue : il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $\delta > 0$, il existe $x, y \in K$ avec $d(x, y) < \delta$ et $d(f(x), f(y)) \ge \varepsilon$.
2. Avec $\delta = \frac{1}{n+1}$, on obtient des suites $(x_n), (y_n)$ de $K$ telles que $d(x_n, y_n) < \frac{1}{n+1}$ et $d(f(x_n), f(y_n)) \ge \varepsilon$.
3. Par compacité, il existe $\varphi$ et $x \in K$ tels que $x_{\varphi(n)} \to x$. Alors $d(y_{\varphi(n)}, x) \le d(y_{\varphi(n)}, x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, x) \to 0$, donc $y_{\varphi(n)} \to x$.
4. Par continuité de $f$ en $x$, $f(x_{\varphi(n)}) \to f(x)$ et $f(y_{\varphi(n)}) \to f(x)$, donc $d(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})) \to 0$, ce qui contredit $d(f(x_n), f(y_n)) \ge \varepsilon$ pour tout $n$. $\square$

5. Démonstration : équivalence des normes en dimension finie

Théorème. Sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, toutes les normes sont équivalentes.

Démonstration.
1. Fixons une base $(e_1, \dots, e_n)$ et posons $\|x\|_\infty = \max |x_i|$ pour $x = \sum x_i e_i$. Il suffit de montrer que toute norme $N$ est équivalente à $\|\cdot\|_\infty$ (l'équivalence est transitive).
2. Majoration : $N(x) \le \sum |x_i| N(e_i) \le \beta \|x\|_\infty$ avec $\beta = \sum N(e_i) > 0$. Donc $|N(x) - N(y)| \le N(x - y) \le \beta \|x - y\|_\infty$ : $N$ est continue sur $(E, \|\cdot\|_\infty)$.
3. Compacité de la sphère : $S = \{x \mid \|x\|_\infty = 1\}$ est fermée et bornée pour $\|\cdot\|_\infty$ ; par l'isomorphisme $x \mapsto (x_1, \dots, x_n)$ avec $\mathbb{K}^n$ (identifié à $\mathbb{R}^n$ ou $\mathbb{R}^{2n}$), elle est compacte (point 2).
4. Minoration : $N$ est continue sur le compact non vide $S$ donc atteint son minimum $\alpha = N(x_0)$ en un $x_0 \in S$ ; comme $x_0 \neq 0$, $\alpha > 0$.
5. Pour $x \neq 0$, $\frac{x}{\|x\|_\infty} \in S$, donc $N\!\left(\frac{x}{\|x\|_\infty}\right) \ge \alpha$, soit $N(x) \ge \alpha \|x\|_\infty$.
6. Ainsi $\alpha \|x\|_\infty \le N(x) \le \beta \|x\|_\infty$ pour tout $x$. $\square$

L'hypothèse de dimension finie intervient à l'étape 3 : en dimension infinie, la sphère unité n'est pas compacte (Riesz).

6. Connexité et connexité par arcs

• Connexité : $E$ est connexe s'il n'est pas réunion de deux ouverts disjoints non vides ; de façon équivalente, les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont $\emptyset$ et $E$, ou encore toute fonction continue $E \to \{0, 1\}$ est constante.
• Parties connexes de $\mathbb{R}$ : ce sont exactement les intervalles.
• Image continue : l'image d'un connexe par une application continue est connexe. TVI généralisé : si $E$ est connexe et $f : E \to \mathbb{R}$ continue, $f(E)$ est un intervalle.
• Connexité par arcs : pour tous $x, y \in E$, il existe $\gamma : [0 ; 1] \to E$ continue avec $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$. Toute partie convexe (ou étoilée) d'un espace normé est connexe par arcs.
• Hiérarchie : connexe par arcs $\implies$ connexe. La réciproque est fausse en général (adhérence du graphe de $x \mapsto \sin(1/x)$ sur $]0 ; 1]$), mais vraie pour les ouverts d'un espace normé.
• Réunion : une réunion de connexes ayant un point commun est connexe.