Cours et exercices corrigés de L3 : Complétude, Espaces de Banach et Théorème du Point Fixe de Picard

1. Suites de Cauchy et espaces de Banach

• Espace de Banach : espace vectoriel normé complet, c'est-à-dire dans lequel toute suite de Cauchy converge.
• Exemples :

1. Tout espace normé de dimension finie (équivalence des normes et complétude de $\mathbb{R}^n$).
2. $(\mathcal{C}([a ; b], \mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)$, et plus généralement l'espace des fonctions bornées d'un ensemble dans un Banach, muni de la norme uniforme.
3. Les espaces $\ell^p$ et $L^p(\mu)$, $1 \le p \le \infty$.

• Contre-exemples : $(\mathcal{C}([0 ; 1]), \|\cdot\|_1)$ n'est pas complet (des fonctions continues peuvent approcher en moyenne une fonction en escalier) ; $(\mathbb{R}[X], \|\cdot\|_\infty)$ avec $\|P\|_\infty$ le max des modules des coefficients n'est pas complet : $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{2^k}$ est de Cauchy sans limite polynomiale.
• Un sous-espace d'un Banach est complet si et seulement s'il est fermé.

2. Critère des séries absolument convergentes

Théorème. Un espace normé $E$ est complet si et seulement si toute série absolument convergente ($\sum \|x_n\| < +\infty$) converge dans $E$.

Démonstration.
1. ($\Rightarrow$) Soit $S_n = \sum_{k=0}^n x_k$. Pour $p < q$, $\|S_q - S_p\| \le \sum_{k=p+1}^q \|x_k\| \le \sum_{k > p} \|x_k\|$, reste d'une série convergente, donc $(S_n)$ est de Cauchy et converge.
2. ($\Leftarrow$) Soit $(x_n)$ de Cauchy. On construit $\varphi$ strictement croissante telle que $\|x_p - x_q\| \le 2^{-k}$ pour $p, q \ge \varphi(k)$.
3. La série $\sum_k (x_{\varphi(k+1)} - x_{\varphi(k)})$ vérifie $\sum_k \|x_{\varphi(k+1)} - x_{\varphi(k)}\| \le \sum_k 2^{-k} < +\infty$ : elle converge par hypothèse.
4. Ses sommes partielles valent $x_{\varphi(n)} - x_{\varphi(0)}$ : la suite extraite $(x_{\varphi(n)})$ converge.
5. Une suite de Cauchy ayant une valeur d'adhérence converge : $(x_n)$ converge. $\square$

Application : dans une algèbre de Banach (par exemple $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec une norme subordonnée), $\exp(A) = \sum \frac{A^k}{k!}$ converge, et si $\|A\| < 1$, $I - A$ est inversible d'inverse $\sum_{k \ge 0} A^k$.

3. Démonstration : $\mathcal{L}_c(E, F)$ est un Banach si $F$ l'est

Théorème. Soient $E$ un espace normé et $F$ un espace de Banach. L'espace $\mathcal{L}_c(E, F)$ des applications linéaires continues, muni de la norme subordonnée, est un espace de Banach.

Démonstration.
1. Limite simple. Soit $(u_n)$ de Cauchy dans $\mathcal{L}_c(E, F)$. Pour $x \in E$, $\|u_p(x) - u_q(x)\| \le \|u_p - u_q\| \, \|x\|$ : la suite $(u_n(x))$ est de Cauchy dans $F$, donc converge vers un vecteur noté $u(x)$.
2. Linéarité. Par passage à la limite dans $u_n(\lambda x + y) = \lambda u_n(x) + u_n(y)$, $u$ est linéaire.
3. Estimation uniforme. Soit $\varepsilon > 0$ et $N$ tel que $\|u_p - u_q\| \le \varepsilon$ pour $p, q \ge N$. Pour tout $x$ et $p, q \ge N$ : $\|u_p(x) - u_q(x)\| \le \varepsilon \|x\|$. En faisant $q \to +\infty$ (continuité de la norme) : $\|u_p(x) - u(x)\| \le \varepsilon \|x\|$ pour tout $p \ge N$ et tout $x \in E$.
4. Continuité de $u$. L'étape 3 montre que $u_N - u$ est linéaire continue de norme $\le \varepsilon$ ; donc $u = u_N - (u_N - u)$ est continue.
5. Convergence en norme. Pour $p \ge N$, $\|u_p - u\| \le \varepsilon$ : $u_p \to u$ dans $\mathcal{L}_c(E, F)$. $\square$

Corollaire. Le dual topologique $E' = \mathcal{L}_c(E, \mathbb{K})$ d'un espace normé quelconque est un espace de Banach ($\mathbb{K}$ est complet), même si $E$ ne l'est pas.

4. Espaces de Hilbert et théorème de projection

• Espace de Hilbert : espace préhilbertien $(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ complet pour la norme $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$. Exemples : $\mathbb{K}^n$, $\ell^2$, $L^2(\mu)$.
• Identité du parallélogramme : $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$ ; une norme provient d'un produit scalaire si et seulement si elle la vérifie.
• Projection sur un convexe fermé : si $C \subset H$ est convexe, fermé et non vide, pour tout $x \in H$ il existe un unique $p_C(x) \in C$ tel que $\|x - p_C(x)\| = d(x, C)$, caractérisé par

$$\forall y \in C, \quad \text{Re}\,\langle x - p_C(x), y - p_C(x) \rangle \le 0$$
(L'existence utilise le parallélogramme, qui rend de Cauchy toute suite minimisante, puis la complétude.)

• Sous-espace fermé : si $F$ est un sous-espace vectoriel fermé, $p_F$ est linéaire, caractérisée par $x - p_F(x) \in F^\perp$, et $H = F \oplus F^\perp$. Si $(e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de $F$ (dimension finie), $p_F(x) = \sum \langle x, e_i \rangle e_i$.
• Densité : un sous-espace $F$ est dense dans $H$ si et seulement si $F^\perp = \{0\}$.

5. Dual d'un Hilbert : théorème de Riesz

• Dual topologique $E'$ : formes linéaires continues sur $E$, normées par $\|\varphi\| = \sup_{\|x\| \le 1} |\varphi(x)|$ ; c'est un Banach (point 3).
• Théorème de représentation de Riesz : soit $H$ un espace de Hilbert. Pour toute $\varphi \in H'$, il existe un unique $y \in H$ tel que

$$\forall x \in H, \quad \varphi(x) = \langle x, y \rangle, \qquad \text{et} \quad \|\varphi\| = \|y\|$$

• Idée de preuve : si $\varphi \neq 0$, $\text{Ker}\,\varphi$ est un hyperplan fermé ; on prend $z \in (\text{Ker}\,\varphi)^\perp$ unitaire et l'on pose $y = \overline{\varphi(z)} \, z$. Pour tout $x$, $x - \frac{\varphi(x)}{\varphi(z)} z \in \text{Ker}\,\varphi$ est orthogonal à $z$, ce qui donne $\varphi(x) = \langle x, y \rangle$.
• Bases hilbertiennes : une famille orthonormée $(e_i)$ est une base hilbertienne si $\text{Vect}(e_i)$ est dense ; alors $x = \sum \langle x, e_i \rangle e_i$ et $\|x\|^2 = \sum |\langle x, e_i \rangle|^2$ (Parseval).

6. Baire, Banach-Steinhaus et point fixe de Picard

• Théorème de Baire : dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense ; de façon équivalente, une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide.
• Banach-Steinhaus : si $E$ est un Banach, $F$ un espace normé et $(T_i)_{i \in I}$ une famille de $\mathcal{L}_c(E, F)$ telle que $\sup_i \|T_i x\| < +\infty$ pour tout $x$, alors $\sup_i \|T_i\| < +\infty$.
• Application ouverte : une application linéaire continue surjective entre deux Banach est ouverte ; si elle est bijective, son inverse est continu (isomorphisme de Banach).
• Point fixe de Picard : soit $(X, d)$ complet non vide et $f : X \to X$ $k$-contractante avec $k \in [0 ; 1[$. Alors $f$ a un unique point fixe $x^{\ast}$ et, pour tout $x_0$, la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers $x^{\ast}$ avec

$$d(x_n, x^{\ast}) \le \frac{k^n}{1 - k} \, d(x_0, x_1)$$
(La suite est de Cauchy car $d(x_n, x_{n+1}) \le k^n d(x_0, x_1)$ ; sa limite est fixe par continuité de $f$ ; l'unicité vient de $d(a, b) = d(f(a), f(b)) \le k \, d(a, b)$.) C'est l'outil de base du théorème de Cauchy-Lipschitz.