Loi normale en PASS / L.AS : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Calculer une probabilité, une espérance à partir d'une densité ou d'une fonction de répartition.
Utiliser la loi uniforme et la loi exponentielle.
Centrer et réduire une variable de loi normale et lire une probabilité.
Utiliser les valeurs de référence $1{,}96$ et $2{,}58$ de la loi normale centrée réduite.

Le cours

1. Densité et fonction de répartition

Une densité $f$ est positive et vérifie $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$ . Alors $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx, \qquad F(x) = P(X \leq x).$
Pour une variable continue, $P(X = a) = 0$ : $\leq$ et $<$ donnent la même probabilité.
$E(X) = \int x f(x)\,dx$ et $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ .

2. Lois uniforme et exponentielle

Uniforme sur $[a ; b]$ : $f(x) = \dfrac{1}{b - a}$ , $P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d - c}{b - a}$ , $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$ .
Exponentielle de paramètre $\lambda$ : $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ , $P(X > t) = e^{-\lambda t}, \qquad E(X) = \dfrac{1}{\lambda}.$
Elle modélise une durée de vie « sans vieillissement » (durée avant désintégration d'un noyau radioactif).

3. Loi normale et centrage-réduction

$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ a une densité en cloche symétrique autour de $\mu$ . Attention : le second paramètre est la variance.
Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ , alors $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1).$
On note $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ ; par symétrie $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ . Une somme de variables normales indépendantes est normale : moyennes et variances s'additionnent.

4. Valeurs de référence

Pour $Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$ :

$P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0{,}68$ ; $P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0{,}95$ ;
$P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) \approx 0{,}95$ , soit $\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975$ ;
$P(-2{,}58 \leq Z \leq 2{,}58) \approx 0{,}99$ ; $\Phi(1{,}645) \approx 0{,}95$ .

Intervalle de référence (« valeurs normales » d'un dosage) : $[\mu - 1{,}96\sigma ; \mu + 1{,}96\sigma]$ contient $95\,\%$ des sujets sains.

5. Aux partiels : pièges fréquents

Diviser par la variance au lieu de l'écart type en centrant-réduisant ( $\mathcal{N}(50, 25)$ a pour écart type $5$ ).
Oublier la symétrie : $P(Z > 2) = 1 - \Phi(2)$ , et $P(|Z| > 1{,}96) \approx 0{,}05$ (deux queues).
Additionner des écarts types pour une somme de variables indépendantes.
Croire qu'un résultat hors de l'intervalle de référence signe une maladie : $5\,\%$ des sujets sains en sortent.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer une probabilité pour une loi normale

Exemple

La glycémie à jeun suit $\mathcal{N}(0{,}95 ; 0{,}1^2)$ (en g/L). Calculer $P(X > 1{,}15)$ , sachant $\Phi(2) \approx 0{,}977$ .

Étape 1 (Centrer-réduire) : $z = \dfrac{1{,}15 - 0{,}95}{0{,}1} = 2$ .
Étape 2 (Lire) : $P(X > 1{,}15) = P(Z > 2) = 1 - \Phi(2)$ .
Étape 3 (Conclure) : $P \approx 1 - 0{,}977 = 0{,}023$ .

Méthode : Retrouver un seuil (quantile)

Exemple

Le débit expiratoire suit $\mathcal{N}(450 ; 60^2)$ (L/min). Quel seuil n'est dépassé que par $2{,}5\,\%$ des sujets ?

Étape 1 (Quantile de $Z$ ) : $P(Z \leq 1{,}96) \approx 0{,}975$ .
Étape 2 (Revenir à $X$ ) : $x = \mu + 1{,}96\,\sigma$ .
Étape 3 (Calculer) : $x = 450 + 1{,}96 \times 60 = 567{,}6$ L/min.

Pièges fréquents

Dans $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ , le second paramètre est la variance : vérifiez s'il faut en prendre la racine.
Pour une variable continue, une densité peut dépasser $1$ : c'est l'aire sous la courbe qui est une probabilité.
$1{,}96$ correspond à $95\,\%$ en bilatéral ; en unilatéral, le seuil à $5\,\%$ est $1{,}645$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Variable centrée réduite associée à

X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)

?

$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ .

Valeur de

P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96)

?

Environ $0{,}95$ .

P(X > t)

pour une loi exponentielle de paramètre

\lambda

?

$e^{-\lambda t}$ .

Relation de symétrie pour

\Phi

?

$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Centrer et réduire une glycémie

Palier 1 · découverte

La glycémie à jeun d'une population suit la loi normale de moyenne $1$ g/L et d'écart type $0{,}1$ g/L.
Calculez la valeur centrée réduite $z$ associée à une glycémie de $1{,}2$ g/L.

Un indice

Retranchez la moyenne, puis divisez par l'écart type.

Voir la correction

Réponse attendue : 2

$z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} = \dfrac{1{,}2 - 1}{0{,}1} = \dfrac{0{,}2}{0{,}1} =$ $2$ : cette glycémie est à deux écarts types au-dessus de la moyenne.

Exercice 2 Temps d'attente uniforme

Palier 2 · application

Aux urgences, le délai (en minutes) avant la prise des constantes suit la loi uniforme sur $[0 ; 20]$ .
Calculez la probabilité que ce délai soit inférieur ou égal à $5$ minutes (réponse décimale avec un point).

Un indice

Pour une loi uniforme, la probabilité est proportionnelle à la longueur de l'intervalle.

Voir la correction

Réponse attendue : 0.25

$P(X \leq 5) = \dfrac{5 - 0}{20 - 0} = \dfrac{5}{20} =$ $0{,}25$ .

Exercice 3 Durée de fonctionnement d'un appareil

Palier 3 · approfondissement

La durée de fonctionnement sans panne (en années) d'un pousse-seringue suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ .
Calculez la probabilité qu'il fonctionne plus de $10$ ans, arrondie au centième (point décimal). On donne $e^{-1} \approx 0{,}367\,9$ .

Un indice

Pour une loi exponentielle, écrivez $P(T > t)$ sous forme d'une exponentielle.

Voir la correction

Réponse attendue : 0.37

$P(T > t) = e^{-\lambda t}$ , donc $P(T > 10) = e^{-1} \approx 0{,}367\,9$ , soit $0{,}37$ .
La durée moyenne de fonctionnement vaut $\dfrac{1}{\lambda} = 10$ ans : un appareil sur trois environ dépasse cette moyenne.

Exercice 4 Seuil de petit poids de naissance

Palier 4 · défi

Dans une maternité, le poids de naissance à terme suit une loi normale de moyenne $3{,}3$ kg et d'écart type $0{,}5$ kg. On rappelle $P(Z \leq 1{,}96) \approx 0{,}975$ .
Déterminez le poids en dessous duquel se trouvent $2{,}5\,\%$ des nouveau-nés, en kg arrondi au centième (point décimal).

Un indice

Par symétrie, le quantile d'ordre $0{,}025$ de $Z$ est l'opposé de celui d'ordre $0{,}975$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 2.32

$P(Z \leq -1{,}96) \approx 0{,}025$ , donc $x = \mu - 1{,}96\sigma = 3{,}3 - 1{,}96 \times 0{,}5 = 3{,}3 - 0{,}98$ .
Le seuil vaut $2{,}32$ kg.