Cours et exercices corrigés de PASS / L.AS : Variables aléatoires discrètes : lois binomiale et de Poisson

1. Espérance et variance

Pour $X$ prenant les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$ :
$$E(X) = \sum_i p_i x_i, \qquad V(X) = E(X^2) - E(X)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$$
Propriétés : $E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2 V(X)$ ; $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ toujours ; $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

2. Loi de Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli a deux issues (succès de probabilité $p$) : $E = p$, $V = p(1 - p)$.
$X \sim \mathcal{B}(n, p)$ compte les succès dans $n$ épreuves identiques et indépendantes :
$$P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \qquad E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p).$$
Exemple : nombre de patients répondeurs parmi $n$ traités, chacun répondant avec la probabilité $p$.

3. Loi de Poisson

$X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ ($\lambda > 0$) modélise un nombre d'événements rares survenant indépendamment dans un intervalle de temps ou d'espace (désintégrations par seconde, cas d'une maladie rare par an) :
$$P(X = k) = e^{-\lambda} \dfrac{\lambda^k}{k!}, \qquad E(X) = V(X) = \lambda.$$
Si $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\mu)$ sont indépendantes, $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$.

4. Approximation de la binomiale par la loi de Poisson

Quand $n$ est grand et $p$ petit (critère usuel : $n \geq 30$ et $p \leq 0{,}1$, avec $np$ modéré), $$\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{P}(np).$$
L'approximation conserve l'espérance ; la variance $np(1 - p)$ est alors très proche de $np$.
Si au contraire $np$ et $n(1 - p)$ sont tous deux grands, on utilise une approximation normale (PA-05).

5. Aux partiels : pièges fréquents

• Additionner des écarts types : ce sont les variances qui s'additionnent (variables indépendantes).
• Oublier le coefficient $\dbinom{n}{k}$ dans $P(X = k)$.
• Utiliser une loi binomiale pour des tirages sans remise dans une petite population (loi hypergéométrique).
• Calculer $P(X \geq 1)$ en sommant tous les termes au lieu d'écrire $1 - P(X = 0)$.