Cours et exercices corrigés de prépa santé : Fonction exponentielle : croissance et décroissance

1. Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ :
$$e^{a+b} = e^{a}e^{b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^{a}} \qquad e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}} \qquad (e^{a})^{n} = e^{na}$$
De plus $e^{0} = 1$, $e^{1} = e \approx 2{,}718$ et $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$.

2. Variations et limites

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty$.
Pour $A > 0$, la fonction $t \mapsto Ae^{kt}$ est croissante si $k > 0$ et décroissante si $k < 0$ ; elle vaut $A$ en $t = 0$.

3. Équations et inéquations

Par stricte croissance de l'exponentielle :
$$e^{a} = e^{b} \iff a = b \qquad e^{a} < e^{b} \iff a < b.$$
Exemple : $e^{2x - 1} = e^{x + 3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$.

4. Modèles exponentiels en santé

• Croissance bactérienne : $N(t) = N_0 e^{kt}$ avec $k > 0$ ; sur toute durée $\Delta t$, la population est multipliée par le même facteur $e^{k \Delta t}$.
• Élimination d'un médicament : après une injection, $C(t) = C_0 e^{-kt}$ avec $k > 0$ ; en une unité de temps, la concentration est multipliée par $e^{-k}$, donc diminue de $(1 - e^{-k}) \times 100$ %.

Ces modèles traduisent une variation proportionnelle à la quantité présente : $N' = kN$.

5. Aux épreuves : pièges fréquents

• Écrire $e^{a+b} = e^{a} + e^{b}$ : c'est un produit, pas une somme.
• Interpréter $C(t) = 4e^{-0{,}3t}$ comme « une baisse de 30 % par heure » : la baisse horaire est $1 - e^{-0{,}3} \approx 25{,}9$ %.
• Oublier que $e^{x} > 0$ : une équation $e^{x} = -2$ n'a pas de solution.
• Confondre $e^{-2t}$ et $-e^{2t}$.