Cours et exercices corrigés de prépa santé : Suites arithmétiques et géométriques : modèles d'évolution

1. Suites arithmétiques

$u_{n+1} = u_n + r$ ; terme général $u_n = u_0 + nr$.
Somme de termes consécutifs : $S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
Modèle d'une évolution à accroissement constant (on ajoute la même quantité à chaque étape).

2. Suites géométriques

$u_{n+1} = q\,u_n$ ; terme général $u_n = u_0 \, q^{n}$.
Pour $q \neq 1$ : $u_0 + u_1 + \dots + u_{n} = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
Modèle d'une évolution à taux constant : une hausse de 40 % par heure donne $q = 1{,}4$, une élimination de 15 % par heure donne $q = 0{,}85$.

3. Limites des suites géométriques

Si $0 < q < 1$, $\lim q^{n} = 0$ ; si $q > 1$, $\lim q^{n} = +\infty$.
Pour trouver un seuil (plus petit $n$ tel que $u_n < s$), on résout l'inéquation avec le logarithme ou on calcule les termes successifs.

4. Doses répétées : suites arithmético-géométriques

Si, entre deux prises, 40 % du médicament est éliminé puis qu'on administre 100 mg : $u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 100$.
La valeur d'équilibre $\ell$ vérifie $\ell = 0{,}6\ell + 100$, soit $\ell = 250$. La suite $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $0{,}6$ : $v_{n+1} = 0{,}6 \, v_n$.
Donc $u_n = \ell + (u_0 - \ell) \times 0{,}6^{n}$ et $\lim u_n = 250$ : la quantité se stabilise (plateau).

5. Aux épreuves : pièges fréquents

• Dire qu'une suite $u_{n+1} = au_n + b$ (avec $b \neq 0$) est géométrique de raison $a$.
• Se tromper d'un rang dans le terme général ($u_0q^{n}$ si l'on part de $u_0$, $u_1q^{n-1}$ si l'on part de $u_1$) ou dans le nombre de termes d'une somme.
• Croire qu'une suite croissante tend forcément vers $+\infty$.
• Oublier de changer le sens de l'inéquation en divisant par $\ln q < 0$.