Cours et exercices corrigés de prépa santé : Primitives, intégrales et aire sous la courbe

1. Primitives

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F' = f$ sur $I$. Deux primitives de $f$ diffèrent d'une constante.
Primitives usuelles ($k$ et $a$ réels, $a \neq 0$, $n$ entier, $n \neq -1$) :

• $k$ a pour primitive $kx$ ; $x^{n}$ a pour primitive $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x^{2}}$ a pour primitive $-\dfrac{1}{x}$ ;
• $\dfrac{1}{x}$ a pour primitive $\ln x$ sur $]0 ; +\infty[$ ; $e^{ax}$ a pour primitive $\dfrac{1}{a}e^{ax}$ ;
• $u'e^{u}$ a pour primitive $e^{u}$ ; $\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln u$ (si $u > 0$).

Exemple : une primitive de $e^{-0{,}2t}$ est $-5e^{-0{,}2t}$ (vérification : $(-5e^{-0{,}2t})' = -5 \times (-0{,}2)e^{-0{,}2t} = e^{-0{,}2t}$).

2. Intégrale et aire

Si $f$ est continue sur $[a ; b]$ et $F$ est une primitive de $f$ :
$$\int_a^b f(t)\,dt = \Big[F(t)\Big]_a^b = F(b) - F(a).$$
Si $f$ est positive sur $[a ; b]$, cette intégrale est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $t = a$ et $t = b$.
Interprétation : l'intégrale d'un débit est une quantité cumulée. Si $d(t)$ est un débit de perfusion en mL/min, $\displaystyle\int_0^{10} d(t)\,dt$ est le volume perfusé, en mL, pendant les 10 premières minutes.

3. Propriétés de l'intégrale

• Linéarité : $\displaystyle\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g$.
• Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$.
• Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a ; b]$ (avec $a \leq b$), alors $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$.
• Croissance : si $f \leq g$ sur $[a ; b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$.

4. Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a ; b]$ (avec $a < b$) est
$$\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,dt.$$
C'est la hauteur du rectangle de base $[a ; b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe.
Exemple : si $C(t) = 12 - 2t$ (mg/L) sur $[0 ; 6]$, $\displaystyle\int_0^6 C(t)\,dt = \Big[12t - t^{2}\Big]_0^6 = 36$, donc la concentration moyenne est $\dfrac{36}{6} = 6$ mg/L.

5. Méthode des trapèzes

Quand on ne connaît la fonction qu'en quelques instants $t_0 < t_1 < \dots < t_n$ (prises de sang, par exemple), on approche l'aire sous la courbe en reliant les points par des segments et en additionnant les aires des trapèzes :
$$\mathcal{A} \approx \sum_{i=0}^{n-1} (t_{i+1} - t_i) \times \frac{y_i + y_{i+1}}{2}.$$
Exemple : mesures 8 ; 6 ; 2 mg/L à $t = 0$, 2 et 4 h : $\mathcal{A} \approx 2 \times 7 + 2 \times 4 = 22$ mg·h/L.

6. AUC et clairance

Après une injection intraveineuse, la concentration est $C(t) = C_0e^{-kt}$ ($k > 0$). L'aire sous la courbe (AUC) entre 0 et $T$ vaut
$$\int_0^T C_0e^{-kt}\,dt = \Big[-\frac{C_0}{k}e^{-kt}\Big]_0^T = \frac{C_0}{k}\left(1 - e^{-kT}\right).$$
Comme $\displaystyle\lim_{T \to +\infty} e^{-kT} = 0$, cette intégrale tend vers $\dfrac{C_0}{k}$ : c'est l'AUC « de 0 à l'infini », qui mesure l'exposition totale de l'organisme au médicament (en mg·h/L si $C$ est en mg/L et $t$ en h).
La clairance d'un médicament injecté par voie intraveineuse est $CL = \dfrac{\text{Dose}}{\text{AUC}}$ (en L/h).
Exemple : dose 500 mg, $C_0 = 10$ mg/L, $k = 0{,}2$ par heure : AUC $= \dfrac{10}{0{,}2} = 50$ mg·h/L et $CL = \dfrac{500}{50} = 10$ L/h.

7. Aux épreuves : pièges fréquents

• Oublier de soustraire $F(a)$ quand la borne inférieure n'est pas 0 (ou quand $F(0) \neq 0$, ce qui est le cas des exponentielles).
• Se tromper de facteur dans une primitive : une primitive de $e^{-kt}$ est $-\dfrac{1}{k}e^{-kt}$, et non $-ke^{-kt}$.
• Confondre l'intégrale (aire, quantité cumulée) et la valeur moyenne (aire divisée par la longueur de l'intervalle).
• Oublier l'unité d'une AUC : c'est le produit de l'unité de concentration et de l'unité de temps (mg·h/L).