Cours et exercices corrigés de terminale : Limites de suites et théorèmes de convergence

1. Opérations sur les limites et formes indéterminées

• Les 4 formes indéterminées fondamentales sont : $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $\infty - \infty$ et $0 \times \infty$.
• Règle du monôme de plus haut degré : la limite en $+\infty$ d'un quotient de polynômes en $n$ est égale à la limite du quotient de leurs monômes de plus haut degré.

2. Théorèmes des gendarmes et de convergence monotone

• Théorème des gendarmes : Si pour tout $n \ge n_0$, $v_n \le u_n \le w_n$ et si $\lim v_n = \lim w_n = l$, alors $(u_n)$ converge et $\lim u_n = l$.
• Convergence monotone : Toute suite croissante et majorée converge vers une limite réelle $l \le M$. Toute suite décroissante et minorée converge vers une limite réelle $l \ge m$.

3. Définitions de la limite d'une suite

• $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$. Cette limite, si elle existe, est unique.
• $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $]A ; +\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
• Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers $\pm\infty$, soit elle n'a pas de limite (comme $(-1)^n$).
• Propriété : une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; une suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

4. Théorèmes de comparaison et passage à la limite

• Comparaison (limites infinies) : si $u_n \le v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$. De même, si $u_n \le v_n$ et $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.
• Passage à la limite : si $u_n \le v_n$ à partir d'un certain rang, et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $\ell$ et $\ell'$, alors $\ell \le \ell'$.
• En particulier, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $u_n \le M$ pour tout $n$, alors $\ell \le M$.

5. Limite d'une suite géométrique $(q^n)$

• Si $q > 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ (démonstration par l'inégalité de Bernoulli).
• Si $q = 1$ : $q^n = 1$ pour tout $n$, la limite est $1$.
• Si $-1 < q < 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$.
• Si $q \le -1$ : la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.

Exemple : $u_n = \dfrac{3^n - 2^n}{3^n + 1} = \dfrac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n}$ en divisant par $3^n$. Comme $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ et $\left(\frac{1}{3}\right)^n \to 0$, $\lim u_n = 1$.

6. Suites récurrentes et point fixe

Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell$ vérifie :
$$f(\ell) = \ell$$
On dit que $\ell$ est un point fixe de $f$. On résout donc l'équation $f(x) = x$, puis on sélectionne la bonne solution grâce aux informations connues sur la suite (signe, bornes, monotonie).

7. Démonstration : une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$

Soit $(u_n)$ une suite croissante et non majorée, et $A$ un réel quelconque.

• Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant de la suite : il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$.
• Comme $(u_n)$ est croissante, pour tout $n \ge N$, $u_n \ge u_N > A$.
• Ainsi, l'intervalle $]A ; +\infty[$ contient tous les termes $u_n$ à partir du rang $N$. Ceci étant vrai pour tout réel $A$, on a par définition $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

8. Démonstration : théorème de comparaison (limite infinie)

Énoncé : si $u_n \le v_n$ à partir d'un rang $n_0$ et si $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.

• Soit $A$ un réel. Comme $\lim u_n = +\infty$, l'intervalle $]A ; +\infty[$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang $n_1$.
• Pour tout $n \ge \max(n_0 ; n_1)$, on a $v_n \ge u_n > A$ : l'intervalle $]A ; +\infty[$ contient aussi tous les termes $v_n$ à partir de ce rang.
• Ceci étant vrai pour tout réel $A$, $\lim v_n = +\infty$.

9. Démonstration : limite de la suite $(q^n)$

• Cas $q > 1$ : on pose $a = q - 1 > 0$. D'après l'inégalité de Bernoulli (démontrée par récurrence au chapitre TA1), $q^n = (1 + a)^n \ge 1 + na$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Comme $a > 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} (1 + na) = +\infty$ ; par comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
• Cas $0 < |q| < 1$ : on pose $Q = \dfrac{1}{|q|} > 1$. D'après le cas précédent, $Q^n \to +\infty$, donc $|q|^n = \dfrac{1}{Q^n} \to 0$. Comme $-|q|^n \le q^n \le |q|^n$, le théorème des gendarmes donne $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$. (Si $q = 0$, la suite est nulle à partir du rang $1$.)
• Cas $q \le -1$ : les termes de rang pair $q^{2n} = (q^2)^n$ sont $\ge 1$ et ceux de rang impair sont $\le -1$. La suite ne peut ni converger (sa limite serait à la fois $\ge 1$ et $\le -1$), ni tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$ (ses termes changent de signe) : elle n'a pas de limite.

10. Algorithme : valeur approchée de $\sqrt{2}$

Le programme cherche le plus grand entier $k$ tel que $k^2 \le 2 \times 10^{2p}$, ce qui donne l'encadrement $\dfrac{k}{10^p} \le \sqrt{2} < \dfrac{k+1}{10^p}$ (calcul exact sur des entiers, sans erreur d'arrondi) :

def encadrement_racine2(p):
    k = 1
    while (k + 1)**2 <= 2 * 10**(2*p):
        k = k + 1
    return k / 10**p, (k + 1) / 10**p

print(encadrement_racine2(3))   # (1.414, 1.415)

Le même principe (algorithme de seuil ou de balayage) permet d'approcher d'autres nombres comme $\ln(2)$ ou la limite d'une suite convergente.