Cours et exercices corrigés de terminale : Limites de fonctions, continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires

1. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et Corollaire

• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a ; b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a ; b]$ tel que $f(c) = k$.
• Corollaire de la stricte monotonie (Théorème de la bijection) :

Si $f$ est continue ET strictement monotone (croissante ou décroissante) sur $[a ; b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a ; b]$.

2. Limites usuelles et asymptotes

• Pour $n \ge 1$ entier : $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$.
• $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$ ; $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.
• $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
• Asymptotes : si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (à gauche ou à droite), la droite $x = a$ est asymptote verticale ; si $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$, la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale.

3. Croissances comparées, composition, comparaison

• Croissances comparées : pour tout entier $n \ge 1$,

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$$
« L'exponentielle l'emporte sur les puissances. »

• Composition : si $\lim\limits_{x \to a} u(x) = b$ et $\lim\limits_{X \to b} g(X) = c$, alors $\lim\limits_{x \to a} g(u(x)) = c$. Exemple : $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0$ car $-x^2 \to -\infty$ et $e^X \to 0$ quand $X \to -\infty$.
• Comparaison et gendarmes : les théorèmes vus pour les suites restent valables pour les fonctions (en $+\infty$, en $-\infty$ ou en un réel $a$).

4. Continuité

• $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; elle est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Graphiquement : la courbe se trace « sans lever le crayon ».
• Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, exponentielle, valeur absolue, sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues.
• Théorème : toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$. La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais pas dérivable en $0$.
• Suites : si $u_n \to \ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(u_n) \to f(\ell)$.

5. Corollaire du TVI sur un intervalle quelconque

Le corollaire s'étend aux intervalles ouverts ou non bornés en remplaçant les images des bornes par les limites : si $f$ est continue et strictement croissante sur $]a ; b[$ avec $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L_1$ et $\lim\limits_{x \to b} f(x) = L_2$, alors pour tout $k \in \, ]L_1 ; L_2[$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $]a ; b[$.
Exemple : $x \mapsto e^x + x$ est continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$, de limites $-\infty$ et $+\infty$ : l'équation $e^x + x = 0$ a une unique solution réelle.

6. Démonstration : limites de la fonction exponentielle en $+\infty$ et en $-\infty$

• Inégalité préalable : la fonction $g : x \mapsto e^x - x$ a pour dérivée $g'(x) = e^x - 1$, négative sur $]-\infty ; 0]$ et positive sur $[0 ; +\infty[$. Son minimum est $g(0) = 1 > 0$, donc $e^x > x$ pour tout réel $x$.
• En $+\infty$ : $e^x > x$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$, donc, par comparaison, $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
• En $-\infty$ : pour tout réel $x$, $e^x = \dfrac{1}{e^{-x}}$. Quand $x \to -\infty$, $X = -x \to +\infty$, donc $e^{-x} = e^{X} \to +\infty$ et, par quotient, $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$.

7. Démonstration : croissance comparée de $e^x$ et $x^n$ en $+\infty$

• Cas $n = 1$ : soit $h(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ sur $[0 ; +\infty[$. Alors $h'(x) = e^x - x > 0$ (inégalité précédente), donc $h$ est croissante et $h(x) \ge h(0) = 1 > 0$. Ainsi $e^x > \dfrac{x^2}{2}$ et, pour $x > 0$, $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$. Comme $\dfrac{x}{2} \to +\infty$, par comparaison $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$.
• Cas $n \ge 2$ : pour $x > 0$, en posant $X = \dfrac{x}{n}$,

$$\frac{e^x}{x^n} = \left(\frac{e^{x/n}}{x}\right)^n = \left(\frac{1}{n} \times \frac{e^{X}}{X}\right)^n$$
Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$ et $\dfrac{e^X}{X} \to +\infty$ (cas $n = 1$) ; par produit et puissance, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$.

• En $-\infty$ : avec $X = -x \to +\infty$, $x^n e^x = (-1)^n \dfrac{X^n}{e^X} \to 0$.