Cours et exercices corrigés de première : Suites arithmétiques et suites géométriques

1. Synthèse comparative des suites usuelles

• Suite Arithmétique (Raison $r$) :
• Récurrence : $u_{n+1} = u_n + r$
• Formule explicite : $u_n = u_0 + nr = u_p + (n - p)r$
• Somme de termes consécutifs : $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$

• Suite Géométrique (Raison $q$) :
• Récurrence : $u_{n+1} = q \times u_n$
• Formule explicite : $u_n = u_0 \times q^n = u_p \times q^{n-p}$
• Somme de termes consécutifs ($q \neq 1$) : $S = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$

Démonstration : terme général d'une suite arithmétique ou géométrique

• Arithmétique : pour passer de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $n$ fois la raison $r$, d'où $u_n = u_0 + nr$. Rédaction rigoureuse : la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - nr$ vérifie $v_{n+1} - v_n = (u_{n+1} - u_n) - r = r - r = 0$ ; elle est constante, égale à $v_0 = u_0$, donc $u_n = u_0 + nr$.
• Géométrique (raison $q \neq 0$) : on multiplie $n$ fois par $q$, d'où $u_n = u_0 \times q^n$. Rédaction rigoureuse : la suite $(w_n)$ définie par $w_n = \frac{u_n}{q^n}$ vérifie $w_{n+1} = \frac{q\,u_n}{q^{n+1}} = \frac{u_n}{q^n} = w_n$ ; elle est constante, égale à $w_0 = u_0$, donc $u_n = u_0 \times q^n$.

2. Démontrer qu'une suite est (ou n'est pas) arithmétique ou géométrique

• $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si $u_{n+1} - u_n$ est une constante $r$ (indépendante de $n$).
• Si les termes ne s'annulent pas, $(u_n)$ est géométrique si et seulement si $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est une constante $q$.
• Pour prouver qu'une suite ne l'est pas, un contre-exemple suffit : pour $u_n = n^2$, $u_1 - u_0 = 1$ et $u_2 - u_1 = 3$, donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

3. Sens de variation

• Arithmétique : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. Ses points $(n ; u_n)$ sont alignés (croissance linéaire).
• Géométrique de premier terme $u_0 > 0$ : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$. Si $u_0 < 0$, les sens sont inversés.
• Si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est pas monotone.

4. Pourcentages et intérêts

• Une augmentation de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; une baisse de $t\,\%$, par $1 - \frac{t}{100}$.
• Intérêts composés : un capital de 1 000 € placé à $3\,\%$ par an vaut $C_n = 1000 \times 1{,}03^n$ après $n$ années (suite géométrique), soit environ 1 343,92 € après 10 ans.
• Intérêts simples : on ajoute chaque année le même montant (suite arithmétique).

Démonstration : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

On écrit la somme $S = 1 + 2 + \dots + n$ dans les deux sens, puis on additionne colonne par colonne :
$$\begin{array}{rcl} S & = & 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n \\ S & = & n + (n - 1) + \dots + 2 + 1 \\ \hline 2S & = & (n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1) + (n + 1) \end{array}$$
Chaque colonne a pour somme $n + 1$ et il y a $n$ colonnes, donc $2S = n(n + 1)$, soit $S = \frac{n(n + 1)}{2}$.
Conséquence : pour une suite arithmétique, $u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n + 1)u_0 + r(1 + 2 + \dots + n) = (n + 1)u_0 + r\,\frac{n(n + 1)}{2} = (n + 1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$ : c'est la formule « nombre de termes $\times$ (premier + dernier) / 2 ».

Démonstration : $1 + q + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$

Soit $S = 1 + q + q^2 + \dots + q^n$. Alors $qS = q + q^2 + \dots + q^n + q^{n+1}$.
En soustrayant, tous les termes se simplifient sauf deux : $S - qS = 1 - q^{n+1}$, c'est-à-dire $(1 - q)S = 1 - q^{n+1}$.
Comme $q \neq 1$, on peut diviser par $1 - q \neq 0$ : $$S = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$
Exemple : $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$.
Conséquence : $u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0(1 + q + \dots + q^n) = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (somme de $n + 1$ termes). Si $q = 1$, la somme vaut $(n + 1)u_0$.

5. Comportement de $q^n$ et liens avec les fonctions

Observations (conjecturées en Première, démontrées en Terminale) pour la suite $(q^n)$ :

• si $q > 1$, $q^n$ devient aussi grand que l'on veut : la suite tend vers $+\infty$ (ex. : $2^{10} = 1024$) ;
• si $-1 < q < 1$, $q^n$ se rapproche de $0$ (ex. : $0{,}5^{10} \approx 0{,}001$) ;
• si $q = 1$, la suite est constante ; si $q \le -1$, elle n'a pas de limite (ses termes alternent de signe sans se stabiliser).

Liens : les points $(n ; u_0 + nr)$ d'une suite arithmétique sont sur la droite d'équation $y = u_0 + rx$ (fonction affine) ; la suite géométrique $(e^{na})$ de raison $e^a$ est la « version discrète » de la fonction $x \mapsto e^{ax}$.

Automatismes pour l'épreuve anticipée

L'épreuve anticipée de mathématiques (2 heures, sans calculatrice) commence par un QCM d'automatismes (6 points sur 20), suivi d'exercices (14 points). Questions flash typiques sur ce chapitre, à traiter de tête :

• Une hausse de $20\,\%$ suivie d'une baisse de $20\,\%$ : coefficient $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une baisse de $4\,\%$.
• Après une baisse de $20\,\%$, il faut une hausse de $25\,\%$ pour revenir au prix initial ($0{,}8 \times 1{,}25 = 1$).
• Un coefficient multiplicateur $0{,}975$ correspond à une baisse de $2{,}5\,\%$.
• Après une hausse de $25\,\%$, un prix vaut $150$ € : le prix initial est $\frac{150}{1{,}25} = 120$ €.
• Passer de $80$ à $92$, c'est une hausse de $\frac{92 - 80}{80} = 0{,}15$, soit $15\,\%$.
• $u_0 = 3$ et $r = -2$ : $u_{10} = 3 - 20 = -17$. $\quad u_0 = 5$ et $q = 2$ : $u_3 = 5 \times 8 = 40$.
• $1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.